2 特色专题（4） 简单的递推数列（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 特色专题(四)　简单的递推数列 专题二 数列 【编者按】　数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用． 题型一　利用an与Sn的关系 【例1】已知{an}为等差数列，bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－6，n为奇数，,2an，n为偶数，)) 记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16. (1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 而bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an－6，n＝2k－1，,2an，n＝2k，)) k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋6d＝32，,T3＝4a1＋4d－12＝16，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,d＝2，)) 故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋3， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n＋3. (2)法一　由(1)知，Sn＝ eq \f(n（5＋2n＋3）,2) ＝n2＋4n，bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－3，n＝2k－1，,4n＋6，n＝2k，)) k∈N*， 当n为偶数时，bn－1＋bn＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1， Tn＝ eq \f(13＋（6n＋1）,2) · eq \f(n,2) ＝ eq \f(3,2) n2＋ eq \f(7,2) n， 当n＞5时，Tn－Sn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n2＋\f(7,2)n)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋4n)) ＝ eq \f(1,2) n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝ eq \f(3,2) (n＋1)2＋ eq \f(7,2) (n＋1)－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4（n＋1）＋6)) ＝ eq \f(3,2) n2＋ eq \f(5,2) n－5，当n＞5时，Tn－Sn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n2＋\f(5,2)n－5)) －(n2＋4n)＝ eq \f(1,2) (n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 法二　由(1)知，Sn＝ eq \f(n（5＋2n＋3）,2) ＝n2＋4n，bn＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－3，n＝2k－1，,4n＋6，n＝2k，)) k∈N*， 当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝ eq \f(－1＋2（n－1）－3,2) · eq \f(n,2) ＋ eq \f(14＋4n＋6,2) · eq \f(n,2) ＝ eq \f(3,2) n2＋ eq \f(7,2) n， 当n＞5时，Tn－Sn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n2＋\f(7,2)n)) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋4n)) ＝ eq \f(1,2) n(n－1)＞0，因此Tn＞Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn＝(b1＋b3＋…＋bn)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)＝ eq \f(－1＋2n－3,2) · eq \f(n＋1,2) ＋ eq \f(14＋4（n－1）＋6,2) · eq \f(n－1,2) ＝ eq \f(3,2) n2＋ eq \f(5,2) n－5，显然T1＝b1＝－1满足上式，因此当n奇数时，Tn＝ eq \f(3,2) n2＋ eq \f(5,2) n－5， 当n＞5时，Tn－Sn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n2＋\f(5,2)n－5)) －(n2＋4n)＝ eq \f(1,2) (n＋2)(n－5)＞0，因此Tn＞Sn. 综上，当n＞5时，Tn＞Sn. 在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an；但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反