1.2 三角恒等变换与解三角形（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 专题一 三角函数及解三角形 第二讲　三角恒等变换与解三角形 1．两角和与差的余弦、正弦及正切公式 ①cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； ③sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ④sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； ⑤tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，β≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，α＋β≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z)； ⑥tan (α－β)＝ eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，β≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，α－β≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z)． 2．二倍角公式 ①sin 2α＝2sin αcos α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，2α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，α≠kπ± eq \f(π,4) ，k∈Z). 3．辅助角公式 a cosx＋b sin x＝ eq \r(a2＋b2) ( eq \f(a,\r(a2＋b2)) cos x＋ eq \f(b,\r(a2＋b2)) sin x)， 令sin θ＝ eq \f(a,\r(a2＋b2)) ，cos θ＝ eq \f(b,\r(a2＋b2)) ， ∴a cos x＋b sin x＝ eq \r(a2＋b2) sin (x＋θ)，其中θ为辅助角，tan θ＝ eq \f(a,b) . 4．降幂公式 ①sin2α＝ eq \f(1－cos2α,2) ； ②cos2α＝ eq \f(1＋cos2α,2) ； ③sin αcos α＝ eq \f(1,2) sin 2α. 【典例】 (1)(多选)下列等式成立的是(　　) A． eq \f(1,2) sin 40°＋ eq \f(\r(3),2) cos 40°＝sin 70° B． eq \f(2sin255°－1,sin20°) ＝1 C．sin 10°sin 50°cos 20°＝ eq \f(1,8) D．tan 255°＝2＋ eq \r(3) 解析：对于A， eq \f(1,2) sin 40°＋ eq \f(\r(3),2) cos 40°＝sin (40°＋60°)＝sin 100°＝sin 80°≠sin 70°，故A错误； 对于B， eq \f(2sin255°－1,sin20°) ＝ eq \f(－cos 110°,sin 20°) ＝ eq \f(－cos （90°＋20°）,sin 20°) ＝ eq \f(sin 20°,sin 20°) ＝1，故B正确； 对于C，sin 10°sin 50°cos 20°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝ eq \f(sin 10°cos 10°cos 40°cos 20°,cos 10°) ＝ eq \f(\f(1,2)sin 20°cos 40°cos 20°,cos 10°) ＝ eq \f(\f(1,4)sin 40°cos 40°,cos 10°) ＝ eq \f(\f(1,8)sin 80°,cos 10°) ＝ eq \f(\f(1,8)cos 10°,cos 10°) ＝ eq \f(1,8) ，故C正确； 对于D，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝ eq \f(tan 30°＋tan 45°,1－tan 30°tan 45°) ＝ eq \f(\f(\r(3),3)＋1,1－\f(\r(3),3)) ＝2＋ eq \r(3) ，故D正确．故选BCD. 答案：BCD (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝ eq \f(1＋\r(5),4) ，则sin eq \f(α,2) ＝(　　) A． eq \f(3－\r(5),8) B． eq \f(－1＋\r(5),8) C． eq \f(3－\r(5),4) D． eq \f(－1＋\r(5),4) 解析：因为cos α＝1－2sin2 eq \f(α,2) ＝ eq \f(1＋\r(5),4) ，而α为锐角，解得sin