1 特色专题（2） 极化恒等式、等和线（课件PPT）-【正禾一本通】2024高考数学高三二轮专题复习高效讲义（新教材）

2024版·数学（新高考） 01篇　强化7 大专题 专题一 三角函数及解三角形 特色专题（二）　极化恒等式、 等和线 题型一　向量极化恒等式 极化恒等式：a·b＝( eq \f(a＋b,2) )2－( eq \f(a－b,2) )2. 变式：(1)a·b＝ eq \f(（a＋b）2,4) － eq \f(（a－b）2,4) ，a·b＝ eq \f(|a＋b|2,4) － eq \f(|a－b|2,4) . (2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝AM2－ eq \f(1,4) CB2＝AM2－MB2． 【例1】 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4 eq \r(5) ，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则 eq \o(AE,\s\up6(→)) · eq \o(AF,\s\up6(→)) ＝________． 解析：BD＝ eq \r(AB2＋AD2) ＝12，∴AO＝6，OE＝3， ∴由极化恒等式知 eq \o(AE,\s\up6(→)) · eq \o(AF,\s\up6(→)) ＝AO2－OE2＝36－9＝27. 答案：27 (2)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则( eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PB,\s\up6(→)) )· eq \o(PC,\s\up6(→)) 的最小值是________． 解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD， 因为O为AB中点，所以( eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PB,\s\up6(→)) )· eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq \o(PC,\s\up6(→)) ， 由极化恒等式得 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝PD2－DO2＝PD2－ eq \f(1,4) ， 因此当D为OC的中点，即| eq \o(PD,\s\up6(→)) |＝0时，( eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PB,\s\up6(→)) )· eq \o(PC,\s\up6(→)) 取得最小值－ eq \f(1,2) . 答案：－ eq \f(1,2) 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 【对点练】 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． eq \o(BA,\s\up6(→)) · eq \o(CA,\s\up6(→)) ＝4， eq \o(BF,\s\up6(→)) · eq \o(CF,\s\up6(→)) ＝－1，则 eq \o(BE,\s\up6(→)) · eq \o(CE,\s\up6(→)) 的值为________． 解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式，得 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，① eq \o(FB,\s\up6(→)) · eq \o(FC,\s\up6(→)) ＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝ eq \f(5,8) ，m2＝ eq \f(13,8) . 因此 eq \o(EB,\s\up6(→)) · eq \o(EC,\s\up6(→)) ＝ED2－DB2＝4n2－m2＝ eq \f(7,8) .即 eq \o(BE,\s\up6(→)) · eq \o(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(7,8) . 答案： eq \f(7,8) 2．平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________． 解析：由向量极化恒等式知a·b＝ eq \f(（2a＋b）2－（2a－b）2,8) ＝ eq \f(|2a＋b|2－|2a－b|2,8) ≥ eq \f(02－32,8) ＝－ eq \f(9,8) ， 当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3， 即|a|＝ eq \f(3,4) ，|b|＝ eq \f(3,2) ，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值． 答案：－ eq \f(9,8) 题型二　等和(高)线解基底系数和(差)问题 平面内一组基底 eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(OB,\s\up6(→)) 及任一向量 eq \o(OP′,\s