2024年中考总复习数学课件第二部分 专题五 综合型问题

专题五　综合型问题 　　几何与代数相结合的综合题是初中数学中知识点涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法,还能有机结合探索性、开放性等有关问题.它既突出考查了初中数学的主干知识,又突出了与高中衔接的重要内容,如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.它不但考查学生数学基础知识和 灵活运用知识的能力，还可以考查学生对数学知识迁移整合能力，既考查学生对几何与代数之间的内在联系的理解,以及多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力,还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力． 例 1：抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝ －2.抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0) 之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数 有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx ＋c＝2 有两个不相等实数根；④b2＋2b＞4ac. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案：C B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点在直线 y＝－2x 上. (1)求 a 的值； (2)求 A，B 两点的坐标； (3)以 AC，CB 为一组邻边作 ▱ACBD，则点 D 关于 x 轴的对称点 D′是否在该抛物线上？请说明理由. 例 3：如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(3，0)， 与 y 轴交于点 C. (1)b＝________，c＝__________； (2)若点 D 在该二次函数的图象上，且S△ABD ＝ 2S△ABC，求点 D 的坐标； (3)若点 P 是该二次函数图象上位于 x 轴上方的一 点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标. 解：(1)－2 －3 (2)连接 BC，如图，由题意可得： (3)设 P(n，n2－2n－3)， ∵点 P 在抛物线位于 x 轴上方的部分， ∴n＜－1 或 n＞3， 当点 P 在点 A 左侧，即 n＜－1 时， 可知点 C 到 AP 的距离小于点 B 到 AP 的距离， ∴S△APC＜S△APB，等式不成立； 当点 P 在点 B 右侧，即 n＞3 时， ∵△APC 和△APB 都以 AP 为底，若要面积相等， 则点 B 和点 C 到 AP 的距离相等，即 BC∥AP， 设直线 BC 的解析式为 y1＝kx＋p， ∴y1＝x－3. 则设直线AP的解析式为y2＝x＋q，将点A(－1，0)代入， 则－1＋q＝0，解得q＝1， 则直线AP的解析式为y2＝x＋1， 将P(n，n2－2n－3)代入，即n2－2n－3＝n＋1， 解得n＝4或n＝－1(舍去)，n2－2n－3＝5， ∴点P的坐标为(4，5). 1.(2021·东莞一模)如图，▱ABCD 的边 AB＝5， 对角线 AC 平分∠BAD，点 E 从 A 点出发沿 AB 方向以 1 个单位长度/秒的速度运动，点 F 从 C 点出发沿CA方 向以2个单位长度/秒的速度运动，其中一点到达终点时， 另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)若对角线 BD＝6，当 t 为多少秒时，△AEF 为 等腰三角形； (3)如图，若∠BAD＝60°，点 G 是 DE 是中点， 作 GH⊥DE 交 AC 于 H.点 E 在 AB 边上运动过程中， 线段 GH 存在最小值，请你直接写出这个最小值. 图 1 图 2 (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACD， ∴AD＝CD， ∴▱ABCD 是菱形. (2)解：如图，AC 交 BD 于点 O. ∵四边形 ABCD 是菱形，BD＝6， ∴OB＝3，AC⊥BD. ∵AB＝5， ∴AC＝8. ∵AE＝t，CF＝2t， ∴AF＝8－2t. 当 AE＝AF 时，t＝8－2t， ∴t＝ 8 3 . 当 AE＝EF 时，如图，过点 E 作 EM⊥AC 于点 M. 则 AM＝ 1 2 AF＝4－t. ∵AC⊥BD， ∴EM∥OB， 当 EF＝AF 时，如图，过点 F 作 FN⊥AB 于点 N. 则 AN＝EN＝ 1 2 t，∠ANF＝90°＝∠AOB. 又∵∠FAN＝∠BAO， ∴△AFN∽△ABO， (3)解：如图，过点H作HM⊥AB于点M，过点H 作 HN⊥AD 于点 N，连接 DH，EH，BH. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC. 又∵AH＝AH， ∴△ADH≌△ABH(SAS)， ∴DH＝BH. ∵∠DAC＝∠BAC，HN⊥AD，HM⊥AB，