2024年人教版中考数学高频压轴题训练二次函数与角度问题

2024年人教版中考数学高频压轴题训练 二次函数与角度问题 1．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． （1）求直线AB和抛物线的表达式； （2）连接BM，若∠BMP＝∠AOB， ①求证：BM∥OA； ②求点P的坐标； ③请直接写出四边形OBMA的外接圆的圆心坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于点和B两点，点在抛物线上． 　　　　 （1）直接写出B点坐标：_________________，抛物线解析式为_________________（一般式）； （2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于点E、F，连接、分别交y轴于点M、N，若，求证：直线经过定点，并求出这个定点的坐标． 3．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式． （2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标． （3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．    4．如图，抛物线yax2bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B． （1）直接写出A，B两点的坐标（用含a，b的代数式表示）； （2）直线ykxm（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB； （3）在（2）的条件下，连接OB，当∠OBA120°，≤k≤时，求的取值范围． 5．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标； (3)如图2，点为第四象限抛物线上一点，经过、、三点作，的弦轴，证明：点在直线上． 6．在平面直角坐标系xOy中，点的坐标是，过点作直线垂直轴，点是直线上异于点的一点，且.过点作直线的垂线，点在直线上，且在直线的下方，.设点的坐标为. （1）判断△的形状，并加以证明； （2）直接写出与的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3）延长交（2）中所求函数的图象于点.求证：. 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点是抛物线上的一点，且，求直线的表达式． 8．如图，二次函数（是常数，且）的图象与轴交A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与线段交于点，与轴交于点，连接，． (1)若 ①求直线的表达式； ②求证：； (2)若二次函数（是常数，且）在第四象限的图象上，始终存在一点，使得，求出的取值范围． 9．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点． (1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点； (2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式； (3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； (3)若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 11．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的一动点(不与B，C重合)，设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB，AC交于点M，N. (如图1)． （1）求证：AM＝AN； （2）若BM＝，求x的值； （3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式及S的最小值； （4）如图2，连接DE分别与边AB，AC交于点G，H．当x为何值时，∠BAD＝15º . 12．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．      (1)求点A，B，C的坐标； (2)如图1，D是抛物线上第一象限内的一点，连接，．若，求点D的坐标； (3)如图2，E是的中点，P是抛物线上一动点（不与顶点重合），直线，分别交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，求证：直线必过一定点． 13．如图1，直线y=x+1与抛物线相交于A、B两点，与y轴交于点M，M