第十九章一次函数专题十五一次函数的综合应用选做作业课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题(十五)　一次函数的综合应用(选做) 类型一　一次函数与等腰三角形的结合 1．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2的图象交于点A(0，3)，分别与x轴交于B，C两点． (1)求函数y1，y2的解析式； (2)求△ABC的面积； (3)已知点P在x轴上，且满足△ACP 是等腰三角形，请直接写出P点的坐标． 解：(1)把点A(0，3)，B(1，0)分别代入y1＝k1x＋b1，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＋b1＝0，,b1＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－3，,b1＝3，)) ∴y1的解析式为y1＝－3x＋3.把点A(0，3)，C(3，0)分别代入y2＝k2x＋b2，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝3，,3k2＋b2＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－1，,b2＝3，)) ∴函数y2的解析式为y2＝－x＋3 (2)S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AO＝ eq \f(1,2) ×2×3＝3 (3)∵OA＝OC＝3，∴AC＝3 eq \r(2) .①当AP＝AC＝3 eq \r(2) 时，OP＝OC＝3，∴此时点P(－3，0)；②当AC＝CP＝3 eq \r(2) 时，OP＝CP－OC＝3 eq \r(2) －3(点P在点C左侧)或OP＝OC＋CP＝3＋3 eq \r(2) (点P在点C右侧)，∴此时点P(3－3 eq \r(2) ，0)或(3＋3 eq \r(2) ，0)；③当AP＝CP时，点P在线段AC的垂直平分线上．又∵OA＝OC，∴此时点P与点O重合，∴此时点P(0，0).综上所述，P点的坐标为(－3，0)或(3－3 eq \r(2) ，0)或(0，0)或(3＋3 eq \r(2) ，0) 类型二　一次函数与直角三角形结合 2.如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A(－1，0)，交y轴于点B(0，3). (1)求直线l对应的函数解析式； (2)将直线l沿x轴正方向平移t个单位长度得到直线m，若直线m上存在点C，使得△ABC为以AB为斜边的等腰直角三角形，求t的值． 解：(1)设直线l的函数解析式为y＝kx＋b，代入A(－1，0)，B(0，3)两点，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝0，,b＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝3，)) ∴直线l对应的函数解析式为y＝3x＋3 (2)过点C作CG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥CG交GC的延长线于点H，则∠BHC＝∠CGA＝90°，∴∠HBC＋∠BCH＝90°.∵△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴∠BCA＝90°，BC＝AC，∴∠BCH＋∠GCA＝90°，∴∠HBC＝∠GCA，∴△BCH≌△CAG(AAS)，∴BH＝CG，HC＝AG.设OG＝x，则CG＝BH＝x，HC＝AG＝OA＋OG＝1＋x，∴CG＝HG－HC＝OB－AG＝3－(1＋x)＝2－x，∴2－x＝x，解得x＝1，∴点C(1，1).易得直线l平移后的解析式为y＝3(x－t)＋3，代入C点的坐标，得3(1－t)＋3＝1，解得t＝ eq \f(5,3) 3．如图，直线l1：y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A(－6，0)，B，与直线l2：y＝－2x交于点C(a，4)，点E为x轴上一个动点． (1)求直线l1的函数解析式； (2)若点E的坐标为(2，0)，过点E作x轴的垂线，分别交直线l1，l2于点F，G，求△CFG的面积； (3)若以点C，A，E为顶点的三角形为直角三角形，直接写出点E的坐标．(提示：若直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2互相垂直，则有k1·k2＝－1) 解：(1)将点C(a，4)代入y＝－2x中，得4＝－2a，∴a＝－2，∴点C(－2，4).将A(－6，0)，C(－2，4)两点分别代入y＝kx＋b中，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6k＋b＝0，,－2k＋b＝4，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝6，)) ∴直线l1的函数解析式为y＝x＋6 (2)当x＝2时，y＝x＋6＝2＋6＝8，∴点F(2，8).当x＝2时，y＝－2x＝－4，∴点G(2，－4)，∴FG＝8－(－4)＝12，∴S△CFG＝ eq \f(1,2) FG·(xF－xC)＝ eq \f(1,2) ×12×[2－(－2)]＝24 (3)①当∠AEC＝90°时，易得点E(－2，0)；②解法一：当∠ACE＝90°时，如图，作CE′⊥AO，则AE′＝CE′＝4，∴∠ACE′＝45°，∴∠E′CE″＝45°，∴E′E″＝C