2024年九年级数学中考二轮专题复习 ：二次函数与特殊四边形综合压轴题

2024年九年级数学中考复习 二次函数与特殊四边形综合压轴题 专题训练 1．如图11，已知抛物线与x 轴交于两点A、B，其顶点为C． (1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由； (2)求证:△ABC是等腰直角三角形； (3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且.点E为线段BC上的动点（点E不与点B，C重合），以E为顶点作，射线ET交线段OB于点F. (1) 求出此抛物线函数表达式，并直接写出直线BC的解析式； (2)求证：； (3)当为等腰三角形时，求此时点E的坐标； (4)点P为抛物线的对称轴与直线BC的交点，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 3．抛物线与轴交于、两点（左右），，与轴的交点是，顶点是． (1)求抛物线的解析式； (2)为对称轴上一点，为平面内一点，、、、为矩形的四个顶点，求出符合条件的点坐标； (3)直线与抛物线交于、两点，连接，，满足，求证；直线恒过定点，并求出定点坐标． 4．【基础巩固】 （1）如图1，AC∥DF，Rt△ABC≌Rt△DEF，连结AD，BE，求证：四边形ABED是平行四边形． 【尝试应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别是A（1，3），B（4，1），点C在x轴上，点D在y轴上．若以AB为边，其余两个顶点为C，D的四边形是平行四边形，求点C，D的坐标． 【拓展提高】 （3）如图3，抛物线y＝x2﹣4x+3与直线y＝x+3交于C，D两点，点E是抛物线上任意一点，在对称轴上是否存在点F，使得以CD为边，其余两个顶点为E，F的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PF=3PE，求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由． 6．如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）． （1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为______；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是______； （2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点， ①求所有定点的坐标； ②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？    7．如图，点在抛物线上，过点作与轴平行的直线交抛物线于点，延长分别与抛物线相交于点，连接，设点的横坐标为，且． (1).当时，求点的坐标； (2).当为何值时，四边形的两条对角线互相垂直； (3).猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 8．如图，已知二次函数：（）和二次函数：（）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F． （1）函数（）的最小值为 ，当二次函数，的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ； （2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）； （3）若二次函数的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程的解． 9．如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1． （1）求抛物线的解析式； （2）连结CD，求证：AD⊥CD； （3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值； （4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中的三点A(1，0)，B