第十八章平行四边形专题训练十与正方形有关的几个常考模型作业课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题训练(十)　与正方形有关的几个常考模型 C 8 模型一　正方形中相交垂线段问题(教材P68T8变式) 1．如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，BC上的点，且CE＝BF，AF，BE相交于点G，则下列结论不正确的是( ) A．AF＝BE B．AF⊥BE C．AG＝GE D．S△ABG＝S四边形CEGF 2．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，FG⊥AE交AB于点F，交CD于点G，垂足为O，连接OD，若BE＝1，FG＝ eq \r(10) ，∠ODA＝2∠BAE. (1)求正方形的边长； (2)求OD的长． 解：(1)过点D作DH⊥AE于点L，交AB于点H，则∠DLO＝∠DLA＝90°.又∵FG⊥AE，∴DH∥FG.又∵四边形ABCD是正方形，∴DG∥FH，AB＝DA，∴四边形DHFG是平行四边形，∴DH＝FG＝ eq \r(10) ，∵∠B＝∠DAH＝∠DLA＝90°，∴∠BAE＝∠DAH－∠DAE＝90°－∠DAE＝∠ADH.在△BAE和△ADH中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠ADH，,AB＝DA，,∠B＝∠DAH，)) ∴△BAE≌△ADH(ASA)，∴AE＝DH＝ eq \r(10) ，∴AD＝AB＝ eq \r(AE2－BE2) ＝ eq \r(（\r(10)）2－12) ＝3，∴正方形边长为3 (2)∵∠ODA＝2∠BAE，∴∠ODA＝2∠ADL，∴∠ODL＝∠ADL.在△ALD和△OLD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DLA＝∠DLO，,DL＝DL，,∠ADL＝∠ODL，)) ∴△ALD≌△OLD(ASA)，∴OD＝AD＝3 【模型归纳】正方形内，分别连接两组对边上的任意两点，得到的两条线段(如：图①中的线段AF与BE，图②中的线段AF与EG，图③中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等． 模型二　正方形中过对角线的直角问题 3．如图，将一块含45°角的直角三角尺的直角顶点与正方形ABCD的对角线的交点O重合，两条直角边分别与AB边和BC边交于点M，N，若四边形OMBN的面积为16，则AB＝________． 4．如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P，试判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由． 解：OA＝OP，理由如下：如图，过点O作OG⊥AB于点G，过点O作OH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH.又∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°＝∠AOP，∴∠AOG＝∠POH.又∵∠AGO＝∠PHO＝90°，∴△AGO≌△PHO(ASA)，∴OA＝OP 【模型归纳】(1)如图①，O为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，∠DOE＝90°，连接OC，则△DOC≌△EOB，△ADO≌△CEO； (2)如图②，O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，直角∠EOF的两边OE，OF分别与AB，BC交于点E，F，与DA，AB的延长线交于点G，H，连接GH，则△AOE≌△BOF，△BOE≌△COF，△AGO≌△BHO，△OGH是等腰直角三角形． 模型三　正方形中的“外角平分线”模型 5．(教材P69复习题T14变式)如图，四边形ABCD是正方形，E点是边BC上的任意一点，AE⊥EF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F. (1)如图①，求证：AE＝EF； (2)如图②，当AB＝2，E是边BC的中点时，请直接写出CF的长． 解：(1)证明：如图①，在AB上截取BM＝BE，连接ME，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，∴AM＝AB－BM＝BC－BE＝EC，∠BAE＋∠AEB＝90°，∠BME＝∠BEM＝45°，∴∠AME＝135°.∵CF平分正方形的外角，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.又∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△AME≌△ECF，∴AE＝EF (2)如图②，取AB的中点M，连接EM，则AM＝MB＝BE＝EC＝1，则同(1)可证△AME≌△ECF，∴CF＝ME＝ eq \r(BM2＋BE2) ＝ eq \r(12＋12) ＝ eq \r(2) 模型四　正方形中的半角模型 6．在正方形ABCD中，E为直线AB上的一动点(不与点A，B重合)，作∠EDF＝45°，交直线BC于点F，连接EF. 【探究】如图，当点E在边AB上时，求证：EF＝AE＋CF； 【应用】(1)当点E在边AB上，且AD＝2时，求△BEF的周长； (2)当点E在BA的