第十八章平行四边形专题训练七特殊平行四边形的性质与判定的综合作业课件 2023—2024学年人教版数学八年级下册

专题训练(七)　特殊平行四边形的性质与判定的综合 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4. (1)求证：▱ABCD是矩形； (2)求AD的长． 解：(1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴OA＝OB.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝ eq \f(1,2) BD，OA＝ eq \f(1,2) AC，∴BD＝AC，∴▱ABCD是矩形 (2)∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵△AOB为等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°，∴BD＝2AB＝8，∴AD＝ eq \r(BD2－AB2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) 2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF，连接AE，EC，CF，FA. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD.又∵BE＝DF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形 (2)∵AC＝4，∴OB＝OA＝ eq \f(1,2) AC＝2，∴OE＝OB＋BE＝3，∴AE＝ eq \r(OA2＋OE2) ＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB于点F. (1)求证：四边形AFDE是正方形； (2)若AD＝3 eq \r(2) ，求四边形AFDE的面积． 解：(1)证明：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝DE，∴四边形AFDE是菱形．又∵∠BAC＝90°，∴菱形AFDE是正方形 (2)∵四边形AFDE是正方形，AD＝3 eq \r(2) ，∴AF＝DF＝DE＝AE＝ eq \f(3\r(2),\r(2)) ＝3，∴四边形AFDE的面积为3×3＝9 4．(云南中考)如图，在▱ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.在△BEA和△FED中 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠FDE，,AE＝DE，,∠BEA＝∠FED，)) ∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB，又∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形．又∵∠BDF＝90°.∴▱ABDF是矩形 (2)由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝ eq \r(AD2－DF2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝ eq \f(1,2) BD·CD＝ eq \f(1,2) ×4×3＝6，∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18 5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF. (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长． 解：(1)证明：∵点D是AC的中点，∴AD＝DC.又∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵EF⊥AC，∴▱AECF是菱形 (2)过点A作AG⊥BC于点G，由(1)知四边形AECF是菱形，∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，∴∠AEB＝∠FAE＝60°.又∵AG⊥BC，∴∠GAE＝30°，∴GE＝ eq \f(1,2) AE＝1，∴AG＝ eq \r(AE2－GE2) ＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) .又∵∠B＝45°，∴∠GAB＝45°＝∠B，∴BG＝AG＝ eq \r(3) ，∴AB＝ eq \r(AG2＋BG2) ＝ eq \r(（\r(3)）2＋（\r(3)）2) ＝ eq \r(6) 6．(遵义中考)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H