第十八章平行四边形专题五平行四边形的证明思路作业课件2023-2024学年人教版八年级数学下册

专题(五)　平行四边形的证明思路 类型一　已知四边形中边的关系 1．若已知一组对边平行 思路1：再证这一组对边相等 1．如图，B，E，C，F四点在同一条直线上，且AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形． 证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. 又∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF，∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AB＝DE.又∵AB∥DE， ∴四边形ABED是平行四边形 2．(鞍山中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC.求证：四边形ABCD是平行四边形． 思路2：再证另一组对边也平行 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF＝EC.求证：四边形BDEF是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，EF＝EC， ∴∠B＝∠C，∠EFC＝∠C， ∴∠B＝∠EFC，∴AB∥EF. 又∵DE∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形 4．(株洲中考)如图，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE. (1)求证：△AEF≌△DEC； (2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形． 2．若已知一组对边相等 思路1：再证这一组对边平行 5．如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是 ______________________． (2)添加了条件后，请证明四边形DEBF为平行四边形． 解：(2)证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴DE∥BF， ∵DE＝BF， ∴四边形DEBF为平行四边形 DE＝BF(答案不唯一) 思路2：再证另一组对边也相等 6．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是平行四边形． 10 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，∴AD＝DE＝AE，CF＝FB＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°，∴DE＝BF，AE＝CF，∠DCF＝∠BCD－∠BCF＝∠DAB－∠DAE＝∠BAE，∴△DCF≌△BAE(SAS)，∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形 类型二　若已知条件与四边形的对角线有关，则可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形来证明该四边形是平行四边形 7．(淮安中考)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO. (1)求证：△AOF≌△COE； (2)连接AE，CF，则四边形AECF________ (填“是”或“不是”)平行四边形． 8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G，H，连接GE，EH，HF，FG，试判断四边形GEHF的形状，并说明理由． 解：四边形GEHF是平行四边形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)， ∴OE＝OF. 同理可得△BOG≌△DOH，∴OG＝OH， ∴四边形GEHF是平行四边形 证明：∵∠ABD＝∠BDC， ∴AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠DCF，,∠AEB＝∠CFD＝90°，,BE＝DF，)) ∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 _1234567890.doc 证明：(1)∵在△ADC中，F，G分别是CD，AC的中点，∴FG＝ eq \f(1,2) AD.同理可得GE＝ eq \f(1,2) BC.又∵AD＝BC，∴FG＝GE，∴△EFG是等腰三角形 (2)在△EFG中，EF＜FG＋GE，∴EF＜ eq \f(1,2) (AD＋BC)，∴2EF＜AD＋BC 证明：(1)在△AEF和△DEC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DE，,∠AEF＝∠DEC,FE＝CE，)) ， ∴△AEF≌△DEC(SAS) (2)∵△AEF≌△DEC，∴∠AFE＝DCE， ∴AB∥CD，∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形 _1234567890.doc 证明：(1)∵在△ADC中，F，G分别是CD，AC的