2024年人教版九年级数学中考高频考点突破：二次函数综合

2024年人教版九年级数学中考高频考点突破：二次函数综合 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 2．已知，抛物线经过点和．    (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线上方的抛物线上的一点，当的面积最大时，求点M的坐标． 3．如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积； (3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式和直线的解析式； (2)如图①，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，同时，动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向终点匀速运动，当，中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接，设运动时间为秒，当为何值时，与相似． (3)如图②，动点在直线上方，且在抛物线上，求出的最大面积，并指出此时点的坐标． 5．综合与探究 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点H，当的值最小时，点H坐标为______； (3)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P，连接、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标和四边形面积的最大值； (4)探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 6．综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．    图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 7．抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，已知点A的坐标为，P为抛物线第一象限上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，若，求的面积； (3)如图2，连接，，若，求点P的坐标． 8．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②连接，，求的面积最大时点的坐标； (3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．抛物线与x轴交于点和． (1)求该抛物线的解析式； (2)若抛物线与y轴交于点C，连接BC.点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t． ①求的最大值及此时点M的坐标； ②过点C作于点H，若，求点P的坐标． 10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ； (3)如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值． 11．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接. (1)求抛物线的解析式． (2)P是下方抛物线上的一动点，