广东省广州市第六中学2024届高三第三次调研考试数学试题

广州六中2023-2024学年高三第三次调研 数学 本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题是必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和徐改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ） A．i B． C．1 D． 2．已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C．7 D．8 3．在平行四边形中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知矩形ABCD中，，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ） A． B． C． D． 8．已知A，B，C，D是椭圆E：上四个不同的点，且是线段AB，CD的交点，且，若，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D．2 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为2 D．若，则 10．已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（） A． B． C． D．的最大值为 11．已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ）    A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 12．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等差数列的前项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为 . 14．若的展开式中只有第项的系数最大，则该展开式中的常数项为 ． 15．已知球的表面积为，正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则该正四棱锥体积的最大值为 . 16．若不等式对恒成立，其中，则的取值范围为 . 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 18．（本题12分）在中，角，，对应的边分别为，，且. (1)求角； (2)，，点在上，，求的长. 19．（本题12分）如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 20．（本题12分）已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球（小球除颜色不同，其余完全相同），某抽球试验的规则如下：试验者在每一轮需有放回地抽取两次，每次抽取一个小球，从第一轮开始，若试验者在某轮中的两次均抽到白球，则该试验成功，并停止试验.否则再将一个黄球（与盒中小球除颜色不同，其余完全相同）放入盒中，然后继续进行下一轮试验. (1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验（若第三轮不成功，也停止试验），记甲进行的试验轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若规定试验者乙至多可进行轮试验（若第轮不成功，也停止试验），记乙在第轮使得试验成功的概率为，则乙能试验成功的概率为，证明：. 21．（本题12分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点. 22．（本题12分）已知函数，. (1)讨论的单调性. (2)是否存在两个正整数，