22.3实际问题与二次函数－运动抛物线中的最值问题训练 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

人教版 九年级上 第二十二章 二次函数 22.3实际问题与二次函数 运动抛物线中的最值问题训练 【2023·武威】以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h＝－5t2＋20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝________s. 2 1 2 【点拨】 h＝－5t2＋20t＝－5(t2－4t)＝－5(t－2)2＋20， 故当t＝2时h最大． 【点方法】 求抛物线最高点坐标的方法： 已知二次函数的解析式，求抛物线的最高点坐标，可以把函数解析式配方，转化成二次函数的顶点式，写出顶点坐标；也可以根据二次函数的一般式，用公式法直接计算出顶点坐标． 4 2 【2023·连云港】如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝－0.2x2＋x＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离OH是________m. 【点拨】 当y＝3.05时，－0.2x2＋x＋2.25＝3.05，解得x1＝1，x2＝4.易得抛物线的对称轴为直线x＝2.5，所以他距篮筐中心的水平距离OH是4 m. 3 【2023·河南】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离， y(m)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m，身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 4 【2023·临沂】第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的 (1)求b，c的值． (2)进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5 s后着陆． ①求x关于t的函数表达式． ②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 解：由题意知，抛物线顶点坐标为(5，3.2)． 则抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋3.2，将点P(0，0.7)的坐标代入，得0.7＝25a＋3.2.解得a＝－. ∴y＝－(x－5)2＋3.2＝－x2＋x＋. 解：当y＝1.6时，－x2＋x＋＝1.6， 解得x＝1或x＝9.3－1＝2(m)，9－3＝6(m)． 答：她与爸爸的水平距离是2 m或6 m. 直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65 m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100 m，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y(m)与水平方向移动的距离x(m)具备二次函数关系， 其表达式为y＝－x2＋bx＋c. 解：如图，作BE⊥y轴于点E. ∵OA＝65 m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100 m， ∴点A的坐标为(0，65)，AE＝50 m，BE＝50 m， ∴OE＝OA－AE＝65－50＝15(m)， ∴点B的坐标为(50，15)． ∵点A(0，65)，点B(50，15)在二次函数 y＝－x2＋bx＋c的图象上， ∴解得 即b的值是，c的值是65. 解：设x关于t的函数解析式为x＝kt＋m， 由题意知点(0，0)，(5，50)在该函数图象上， ∴解得 即x关于t的函数解析式为x＝10t. 解：设直线AB的解析式为y＝px＋q. ∵点A(0，65)，点B(50，15)在该直线上， ∴解得 即直线AB的解析式为y＝－x＋65， 则h＝－(－x＋65)＝－x2＋x， ∴当x＝－＝25时，h取得最大值，此时h＝. ∵25＜50， ∴x＝25时，h取得最大值，符合题意． 将x＝25代入x＝10t，得25＝10t， 解得t＝2.5， 即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大， 最大值是m. $$