22.3实际问题与二次函数－几何图形中的最值问题训练 课件 2023—2024学年人教版数学九年级上册

人教版 九年级上 第二十二章 二次函数 22.3实际问题与二次函数 几何图形中的最值问题训练 1 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，△PBQ的面积最大，最大面积是多少？ 2 2 (1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积． 解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°. ∵∠E＝30°， ∴∠EQC＝∠AQM＝60°. ∴△AMQ为等边三角形． ∴AM＝AQ. 如图，过点M作MN⊥AQ，垂足为N，则AN＝QN. (2)计算x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值，最大值是多少？ 【点方法】 用二次函数的性质求解几何图形面积的最值，通常先根据图形的特点，结合相关的几何性质，运用“面积法 ”建立函数关系式，再运用求二次函数最值的方法求解． 如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长) ，则这个围栏的最大面积为________m2. 【点拨】 设与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(16－2x)m.根据矩形面积公式列出函数解析式，化为顶点式即可得解． 32 3 4 【2023·威海】如图，某农场要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成，已知墙长25 m，木栅栏长47 m，在与墙垂直的一边留出1 m宽的出入口(另选材料建出入门)．求养鸡场面积的最大值． 解：设矩形养鸡场与墙垂直的一边(没有出入口)长为x m， 则与墙平行的一边长为(47－2x＋1)m. 由题意得S＝x(47－2x＋1)，即S＝－2(x－12)2＋288. ∵－2＜0，∴当x＝12时，S有最大值，为288. 当x＝12时，47－2x＋1＝24＜25，符合题意． 答：养鸡场面积的最大值为288 m2. 5 【2023·湘潭】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ，Ⅱ两块矩形劳动实践基地，某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长． 解：∵(21－12)÷3＝3(m)， ∴Ⅰ，Ⅱ两块矩形的总面积为12×3＝36(m2)． 设DG的长为a m，则水池的面积为a×1＝a(m2)， ∴36－a＝32. 解得a＝4.∴DG＝4 m， ∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)． 即CG的长为8 m、DG的长为4 m. (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 6 有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/平方米、60元/平方米、40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元． 17 (1)当x＝5时，求种植总成本； (2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120 平方米，求三种花卉的最低种植总成本． ∵y＝－400x＋24 000， ∴y随x的增大而减小． ∴当x＝6时，y的最小值为21 600， 即三种花卉的最低种植总成本为21 600元． 解：由题意可知，BP＝(12－2t)mm，BQ＝4t mm. ∴S＝BP·BQ＝(12－2t)·4t. 整理，得S＝－4t2＋24t，易知0＜t＜6. ∵S＝－4t2＋24t＝－4(t－3)2＋36， ∴当t＝3时，S取得最大值，为36. 故△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数解析式为S＝－4t2＋24t(0＜t＜6)． 当t＝3时，△PBQ的面积最大，最大面积是36 mm2. 如图①放置两个全等的含有30°角的直角三角尺ABC与DEF(∠B＝∠E＝30°)，若将三角尺ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始终保持点B，F，C，E在同一条直线上，如图②，AB与DF，DE分别交于点P，M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF＝，设三角尺ABC移动时间为x秒． 在Rt△ABC