6.2.4 向量的数量积5题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 6.2.4 向量的数量积5题型分类 一、两向量的夹角与垂直 1．夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 二、向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 三、投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 四、平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量. (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 五、平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). （一） 求两向量的数量积 求平面向量数量积的方法：计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件. 题型1：求两向量的数量积 1-1．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是边长为的等边三角形，则 ． 1-2．（2023下·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则 . 1-3．（2023·高一课时练习）已知，，且向量与的夹角为120°，则 . 1-4．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．14 1-5．（2023下·上海·高一期末）已知向量满足，，则的取值范围是 ． 1-6．（2023下·湖南邵阳·高一湖南省邵东市第三中学校考期中）在中，，，，是边上一点，，设，． （1）试用，表示； （2）求的值． 1-7．（2023上·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）若非零向量与满足：，且，，则的最大值为 ． （二） 向量的模和夹角的计算问题 1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝来求解. (2)向量的夹角：利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角. 2、(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方. (2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 题型2：向量的模 2-1．（2023上·江苏徐州·高三期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023·高一课时练习）已知向量、满足，，，求. 2-3．（2023下·吉林延边·高一延边二中阶段练习）设向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的大小. 2-4．（2023下·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）已知非零向量满足，且，则 ． 2-5．（2023下·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）设向量、满足，则 ． 题型3：向量的夹角 3-1．（2023·高二课时练习）已知，满足，，，求与的夹角的余弦值. 3-3．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3-3．（2023·高一课时练习）设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角. 3-4．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. （三） 与垂直有关的向量问题 解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 题型4：与垂直有关的向量问题 4-1．（2023·高一课时练习）已知，，若，，则 ． 4-2．（2023下·天津和平·高一统考期末）已知，，向量与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求实数的值． 4-3．（2023·全国·高三专题练习）若，，试求，夹角的余弦值． 4-4．（2023下·北京·高一景山