6.2.3 向量的数乘运算4题型分类-2023-2024学年高一数学同步知识·题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解题秘籍：2023-2024学年高一数学同步知识·题型精品讲义 6.2.3 向量的数乘运算4题型分类 一、向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向：. 特别地，当λ＝0时，λa＝0.当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 二、向量数乘的运算律 1.(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 三、向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. （一） 向量的线性运算 1、向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 2、向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算. 题型1：向量的线性运算 1-1．（2023下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）等于（    ） A． B． C． D． 1-2．（2023下·浙江台州·高一统考期末）的化简结果为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023·全国·高一专题练习）若，则化简等于（　　） A． B． C． D．以上都不对 1-4．（2023·高一课时练习）已知是未知向量，解下列方程： （1）              （2） 1-5．（2023下·高一课时练习）若，其中为已知向量，则未知向量 ． （二） 用已知向量表示其他向量 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 题型2：用已知向量表示其他向量 2-1．（2023上·吉林·高二学业考试）在中，点D在BC边上，，则（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023上·湖北孝感·高一统考期末）在四边形中，设，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2023下·天津红桥·高二统考学业考试）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2-4．（2023下·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考阶段练习）设分别是的边上的点，,若，则＝ .（用表示） 2-5．（河北省石家庄市十五中2022-2023学年高一下学期期中数学试题）如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 2-6．（2023下·高一课时练习）如图所示，是平行四边形，，C是其对角线的交点，试用表示向量． 2-7．（2023上·江苏无锡·高三统考期中）在△ABC中，点D是线段BC的中点，点E在线段AD上，且满足AE＝2ED，若，则λ＋μ＝ ． （三） 共线向量的判定及应用 (1)证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可. (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1. 题型3：证明或判断三点共线的方法 3-1．（2023下·高一课时练习）如图，已知两边的中点分别为M，N，在延长线上取点P，使，在延长线上取点Q，使.求证：P，A，Q三点共线. 3-2．（广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）已知，为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 3-3．（2023·广东·高三统考学业考试）已知向量，不共线，若，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 3-4．（2023上·高一单元测试）已知A，B，C为三