1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2023/9/10 1 人教A版2019选修第一册 23:41:23 数学 第 1 章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 主讲人：陈永金 1 学习目标 1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角 —————————数学抽象 2.掌握空间向量数量积的性质及运算律 —————————数学运算 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题 ————数学运算、直观想象 23:41:23 自主预习 预学单展示 复习导入 空间向量及其线性运算 空间向量 空间向量相关概念 线性运算 共面向量 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 ，，，使. 如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 23:41:23 复习导入 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 平面向量的数量积 空间向量的数量积 ？ 平面向量的运算 平面向量的运算 回顾：研究平面向量的数量积的过程 23:41:23 研究过程： 夹角 定义 投影 运算律 新知探究 问题导入：在正方体为的中点，点为上靠近的三等分点处，如何确定， 的夹角？ 我们知道任意两个非零空间向量可平移到同一平面，因此可转化为同一平面内的向量再求其夹角。 两平面向量的夹角是如何求得的？该过程能推广到空间吗？ 23:41:23 如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作. 新知探究 空间向量夹角定义 23:41:23 如果，那么向量互相垂直，记作. 通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 新知探究 思考：类比平面向量的数量积，你能给出空间向量数量积的定义及其满足的性质吗？ 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 23:41:23 向量的数量积定义，可以得到： . 8 新知探究 思考：类比平面向量的投影，在空间中， （）向量向向量的投影有什么意义？ 向的方向向量投影 向 平面β内的射影直线投影 23:41:23 （）向量向直线的投影呢？ （）向量向平面β的投影呢？ 新知探究 空间向量的数量积满足如下的运算律： (交换律) (分配律). 思考：类比平面向量的数量积满足的运算律，你能给出空间向量数量积满足的运算律吗？ 如何证明呢？ 23:41:23 新知探究 探究1：对于三个均不为0的数，若，则.即数有消去律，那么对于向量，由，你能得到吗？ 不能. 如， 时 探究2：对于三个均不为0的数，若，则(或).对于向量，由，能不能写成的形式？ 不能. 向量没有除法 探究3：对于三个均不为0的数，有对于向量，成立吗？为什么？ 不能. 共线， 与，但不一定共线 23:41:23 例题讲解 辨析：判断正误. (1)向量与的夹角等于与的夹角.（ ） (2)若，则或.（ ） (3)若，且，则.（ ） (4)若均为非零向量，则是与共线的充要条件. （ ） × × × × 解析： 解析： 可能垂直 解析： 可能不相等 解析： 同向，而不是共线 23:41:23 例题讲解 例2.如图，在平行六面体中， 求： (1)；(2)的长(精确到0.1). 23:41:23 (2) 所以 解:(1) 13 当堂检测 1. 已知和是相互垂直的单位向量，则（ ）. 答案：. 解：∵且 ∴ 23:41:23 当堂检测 2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，求下列向量的数量积. (1)(2)(3)(4) 解：设 依题意得 (1) (2) 23:41:23 当堂检测 2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别是的中点，求下列向量的数量积. (1)(2)(3)(4) 解：设 依题意得 (3) (4) 23:41:23 课堂小结 运算律 空间向量的数量积运算 夹角 数量积 常见题型 (交换律)； (分配律). 垂直 模长 夹角 23:41:23 谢谢观看！ 23:41:23 $$