排列组合（一）学案-2024届高三数学一轮复习

河北衡水中学2024高三一轮复习 学案 第一组编人: 第二组编人： 校对人： 审核： 姓名： 学号： 日期： 排列与组合(一) 学习目标 1．理解排列、组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 3．能利用排列组合知识解决简单的实际问题． 要点梳理： 1． 排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝1. 2． 组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，由于0！＝1，所以C＝1. (4)组合数的性质：①；②. 1． 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 2． 求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　 　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　 　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　 　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　 　) (5)A＝nA.(　 　) (6)kC＝nC.(　 　) 题型一　排列数公式与组合数公式的应用 例1　(1)解方程3A＝4A； (2)解方程C＝C＋C＋C. (3)计算：C＋C＋C＋…＋C. 题型二　排列基本方法梳理 法一 运用两个基本原理 例2：有9名同学排成两排，第一行4人，第二行5人，其中甲必须在第一行，乙丙必须排在第二行，问有多少种不同的排法？ 法二 直接法 例3甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ）种 A．54 B．72 C．96 D．120 法三 间接法 例4某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（    ） A．21种 B．231种 C．238种 D．252种 法四 列举法 例5三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．16种 法五 特殊元素（位置）优先 例6某班上午要上语文、数学、英语及体育四门课，如果体育不排在第一、二节，语文不排在第三、四节，则不同的排法方案有多少种？ 法六 相邻问题用捆绑法 例7某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（    ）种不同的排法 A． B． B． C． D． 法七 相离问题用插空法 例82022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．24 B．48 C．144 D．244 法八 定序问题（先选后排） 例9花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （    ） A．2520 B．5040 C．7560 D．10080 题型三　排队问题 例10在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1） 三名女生不能相邻，有多少种不