第六章 计数原理 单元测试-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理 单元测试 一、单选题 1．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种 A．25 B．60 C．90 D．150 2．用组成没有重复数字的四位数，共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中所有二项式系数和为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 4．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是 A． B． C． D． 5．设，则（    ） A．0 B． C． D． 6．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（    ）种不同的编码． A．120 B．60 C．40 D．10 7．一辆七座（含司机）旅游客车载着6名游客前往某地游览.6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为（    ） A．135 B．150 C．165 D．180 8．已知等差数列的通项公式为，则的展开式中含项的系数是该数列的(　　) A．第9项 B．第10项 C．第19项 D．第20项 二、多选题 9．若，则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ） A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为 C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为 11．在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（    ） A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 B．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有种 C．抽出的3件产品中至多有1件是不合格品的抽法有种 D．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 12．下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（    ） A． B．已知，则等式对任意正整数都成立 C．设，则的个位数字是6 D．等式对任意正整数都成立 三、填空题 13．在的展开式中，的系数为 ． 14．在的展开式中,的系数为 .用数字作答） 15．我国古代有辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《缉古算经》均有着十分丰富的内容，是了解我国古代数学的重要文献，某中学计划将这本专著作为高中阶段“数学文化”样本课程选修内容，要求每学年至少选一科，三学年必须将门选完，则小南同学的不同选修方式有 种. 16．若对任意实数，都有，则的值为 ． 四、解答题 17．（1）求值：； （2）求值：结果用数字表示 18．已知函数. （1）当时，求展开式中系数的最大项； （2）化简； 19．求证：． 20．已知函数，其中． （1）若，求的值； （2）若，求的最大值； （3）若，求证：． 21．某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 22．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，中国运动员通过顽强拼搏，获得了9枚金牌，列金牌榜第三名，为祖国争得了荣誉，也创造了冬奥会上新的辉煌.假设冬奥会上某项比赛共有包括中国队在内的6个国家代表队参加决赛，且每个代表队只有1名队员参赛.比赛时按预先编排的顺序依次出场，根据比赛成绩确定前三名，分别获得金牌、银牌和铜牌. (1)决赛时共有多少种不同的出场顺序? (2)中国队不是第一个出场的比赛顺序有多少种?. (3)若每名参赛队员获得奖牌的可能性相等，求中国队获得奖牌的概率. 参考答案： 1．D 【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法； 第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法， 再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种， 所以不同的选派方法共有种. 故选：D 2．C 【分析】利用排列、组合数以及特殊元素、特殊位置优先考虑法即可求解. 【详解】不能排在千位，先从中取一个数排在千位， 所以. 故选：C 3．C 【分析】由二项式第3项和第5项系数相等，有求得，即可求系数和 【详解】由的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，知： ∴展开式中所有二项式系数和为 故选：C