新定义型分类汇编-北京市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

2024年1月北京市高三数学10区期末新定义试题汇编 1.（2024.1丰台区高三期末21） 对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． （1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② （2）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； （3）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 2.（2024.1西城区高三期末21 ） 给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中. （1）当，时，写出所有满足的数对序列； （2）当时，证明：； （3）当为奇数时，记的最大值为，求. 3.（2024.1大兴区高三期末21）若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记. （1）判断无穷数列和是否是数列，并说明理由； （2）若是数列，证明：数列中存在小于1的项； （3）若是数列，证明：存在正整数，使得. 4.（2024.1海淀区高三期末21）21. 对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中.记.设集合或，记为集合所含元素的个数. （1）对以下两个数表，，写出，，，的值； （2）若中恰有个正数，中恰有个正数.求证：； （3）当时，求的最小值. 5.（2024.1朝阳区高三期末21）21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定. （1）若，写出及的值； （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式； （3）设集合，求证：且. 6.（2024.1东城区高三期末 ）若有穷数列满足：，则称此数列具有性质. （1）若数列具有性质，求值； （2）设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列； （3）把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在. 7.（2024.1石景山区高三期末21）对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列. （1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列； （2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立； （3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列． 8.（2024.1昌平山区高三期末21）已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集． （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值． 9. （2024.1通州区高三期末21）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列： ①； ②对于，使得的正整数对有k个. （1）写出所有4的1减数列； （2）若存在m的6减数列，证明：； （3）若存在2024的k减数列，求k的最大值. 10.（2024.1房山区高三期末21）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”. （1）若具有性质“”，且，，，求； （2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为2的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由； （3）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，，求证：具有性质“”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年1月北京市高三数学10区期末新定义试题汇编 1.（2024.1丰台区高三期末21） 对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”． （1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由； ①；② （2）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：； （3）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值． 【答案】（1）、均是周期数列，数列周期为1（或任意正整数），数列周期为6 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由周期数列的定义求解即可； （2）由“同根数列”的定义求解即可； （3）是奇数时，首先证明不存在数列满足条件，其次证明存在数列满足条件.当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件,其次证明时存在数列满足条件． 【小问1详解】 、均是周期数列，理由如下： 因为， 所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）． 因，