专题1.17 三角形的证明（全章知识梳理与核心考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.17 三角形的证明（全章知识梳理与核心考点分类讲解） 【知识点一】三角形全等的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS.此外，直角三角形全等的判定方法还有HL. 【知识点二】等腰三角形：是一个轴对称图形，等腰三角形的性质（1）等边对等角；（2）三线合一.等腰三角形的判定与性质是互逆的，包括：（1）等角对等边；（2）三线中至少两线合一. 【知识点三】等边三角形：等边三角形是特殊的等腰三角行，除具有等腰三角形的所有性质外，还具有独特的性质：（1）三个角相等，且都等于60°；（2）任意一边上的高、中线、对应的角平分线重合. 【知识点四】直角三角形的性质：（1）两个锐角互余，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（2）两直角边的平方和等于斜边的平方. 【知识点五】直角三角形的判定：（1）有两个互余的三角形是直角三角形；（2）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 【知识点六】线段垂直平分线的性质定理和判定定理及角平分线的性质定理和判定定理：都是互逆命题和互逆定理. （1）线段的垂直平分线：①性质定理———线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②判定定理———到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （2）角平分线：①性质定理———角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ②判定定理———在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【知识点七】三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三个顶点的距离相等；三角形三个内角的平分线相交于一个点，这个点到三边的距离相等. 【核心考点目录】 【考点一】等腰三角形的性质与判定； 【考点二】等边三角形的性质与判定； 【考点三】含的直角三角形的性质； 【考点四】直角三角形中的边角关系； 【考点五】线段的垂直平分线； 【考点六】角的平分线. 【考点一】等腰三角形的性质与判定➼求值或证明 【例1】（2024上·重庆开州·八年级统考期末）如图，点E是中线上的一点． （1）如图1，的延长线交于点F，过点B作交的延长线于点G，若，求证：； （2）如图2，连接，若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）先证明，得到，等边对等角，结合对顶角相等，推出，即可； （2）延长至点，使，证明，设，等边对等角，全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可．掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 解：（1）证明：， ∴， ∵是的中线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 延长至点，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2023上·河南周口·八年级河南省淮阳中学校考阶段练习）如图，等边的边长为12，D是边上一点，交于点E，连接，F是上的一点，，则的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，先证明是等边三角形可得,，再作于点G，根据等腰三角形的性质得出 解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 过点A作于点G，则， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：A 【变式2】（2024上·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在中，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是得到，根据图像找到相等的角进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ， ， ， ， ∵ ， 故答案为：． 【考点二】等边三角形的性质与判定➼求值或证明 【例2】（2024上·湖南郴州·八年级统考期末）等边中，点D在边上，点E在边上．以为边，在右侧作等边，连接． （1）如图1，当点E与点C重合时，判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点D是的中点时，点E从点C运动到点B的过程中（边的中点除外），求的度数． 【答案】（1），理由见详解；（2） 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证，进而问题可求证； （2）过点F作交于点H，在上找一点G，使得，由题意易证，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求解． 解：（1）证明：，理由如下： ∵，都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作交于点H