1.1菱形的性质与判定 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 知识点　菱形的定义和性质 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质：①菱形具有平行四边形的所有性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直；④菱形是轴对称图形． 第1课时　菱形的性质 典例1　(教材P4练习)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知AB＝5 cm，AO＝4 cm，求BD的长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2BO． 在Rt△AOB中，BO＝＝3(cm)． ∴BD＝2BO＝2×3＝6(cm)． 变式1　(教材P4习题T2)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，AC＝8，求菱形ABCD的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD． ∴AB＝＝5． ∴菱形ABCD的周长为4×5＝20． 典例2　(教材P4习题T1)已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B．求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，AB＝BC． ∴∠B＋∠BAD＝180°． ∵∠BAD＝2∠B， ∴∠B＋2∠B＝180°． ∴∠B＝60°． ∴△ABC是等边三角形． 变式2　(教材P4习题T3)已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠ADC＝∠ABC． 在△ADC和△ABC中， ，∴△ADC≌△ABC(SAS)． ∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA，即AC平分∠BAD和∠BCD． 同理可得△DAB≌△DCB． ∴BD平分∠ABC和∠ADC． 1．如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，若AB＝10，AC＝12，求BD的长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝AC＝6，BD＝2OB． 在Rt△AOB中， OB＝＝8． ∴BD＝2OB＝16． 2．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边CD，AD的中点，求证：AE＝CF． 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD． ∵点E，F分别是边CD，AD的中点， ∴DF＝AD，DE＝CD． ∴DE＝DF． 在△ADE和△CDF中，， ∴△ADE≌△CDF(SAS)． ∴AE＝CF． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点D的坐标为　 ．  (，2)　 4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，且BE＝CE，AD＝4 cm，求BD的长． 解：∵AE⊥BC于点E，且BE＝CE， ∴AB＝AC． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝4，AC⊥BD． ∴△ABC是等边三角形． ∴∠ABC＝60°． ∴∠ABO＝∠ABC＝30°． 在Rt△AOB中，AO＝AB＝2． ∴BO＝＝2． ∴BD＝2BO＝4． 5．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为　 　．  3　 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． (1)若AB＝8 cm，则BC＝　 　cm，菱形ABCD的周长 为　 　cm；   (2)若∠ABC＝50°，则∠BAD＝　 　°；  (3)若AC＝16，BD＝30，则该菱形的周长为　 　．  　68　 　130　 　32　 　8　 课堂小练 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝AD＝4，求AC的长．   解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AB＝AD＝4，AC⊥BD． ∴OA＝＝2． ∴AC＝2OA＝4． 1．如图，菱形ABCD的周长为36，且∠B＝60°，则AC的长为　9　． 巩固训练 2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，且DE＝BF．求证：EC＝FC． 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠D＝∠B，CD＝CB． 在△CDE和△CBF中， ∴△CDE≌△CBF(SAS)． ∴EC＝FC． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝6，AC＝4，求菱形ABCD的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝BD＝3，OA＝AC＝2，AC⊥BD． 在Rt△ABO中， AB＝． ∴菱形ABCD的周长为4AB＝4． A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD 4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( ) C 5．如图，在菱形ABC