一元函数的导数及其应用 讲义-2024届高三数学一轮复习

命制：湖北温德克英联合教研工作室 审校：温袭明 木一守仁 专题5 一元函数的导数及其应用 知识结构 单元目标： 1感知微积分的基本思想，理解导数的内涵与思想，理解导数的几何意义，体会极限思想，提升数学抽象、直观想象素养。 2 强调利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等性质的一般步骤，体现程序化思想，体会导数是研究函数性质的基本工具，具有普适性。 3 通过利用导数定义求导数值，求简单初等函数导数，利用导数研究函数，体会极限思想，提升数学运算素养。 4 通过微积分创立的史实，让学生感受理性精神。 知识清单 1.导数的定义 函数在点处的导数记作： 2.导数的几何意义 函数在处导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 注意两种情况： ①曲线在点处切线：。相应的切线方程是： ②曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 3.常见函数的导数公式 ①；②； ③；④； ⑤；⑥； ⑦；⑧ 4.导数的四则运算和复合函数的求导法则 （1） (2) （3） （4） 5.导数的应用 （1）利用导数判断函数单调性： 设函数在某个区间内可导， ①在区间内单调递增； ②在区间内单调递减； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 ③在该区间内单调递增在该区间内恒成立； ④在该区间内单调递减在该区间内恒成立； （2）利用导数求极值： 定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 求函数在某个区间上的极值的步骤： （i）求导数； （ii）求方程的根； （iii）检查在方程的根的左右的符号： “左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值 特别提醒： ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 （1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 （2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 考点探究 题型一 导数（导函数）的理解 【典例精讲】 例1.已知：。计算：的值。 解：根据导数的定义得到： 。 【变式训练】 练1-1.已知函数在处的导数为1，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 【分析】因为函数在处的导数为1， 则.故选：B. 练1-2.若，则（ ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 【分析】因为，所以．故选：C 练1-3.已知函数的导数为，且，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由得，当时，，解得，所以，.故选：B 题型二 导数的几何意义 【典例精讲】 例2.已知函数f (x)＝x3＋x－16. (1)求曲线y＝f (x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线l为曲线y＝f (x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标； (3)如果曲线y＝f (x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． 【分析】　(1)∵f ′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f (x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)， 即y＝13x－32. (2)设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f ′(x0)=＋1，∴直线l的方程为 又∵直线l过点(0，0)， ∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16. 整理得，＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l的方程为y＝13x， 切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)， 则f ′(x0)＝3＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14