29.1 投影 第2课时(正投影的性质) 课件-2023-2024学年九年级数学下册人教版

正投影的性质 29.1 投 影 | 29.1 投 影 第2课时 | 第二十九章 投影与视图 课堂导问 投影怎样分类？正投影有什么性质和作用？ 探究新知 活动1：如图，把一根直的细铁丝 (记为线段 AB) 如下放置： (1) 铁丝平行于投影面 p； (2) 铁丝倾斜于投影面 p； (3) 铁丝垂直于投影面 p (铁丝与投影面 p 没有交点). 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ p A B A1 B1 A B A3(B3) A B B2 A2 归纳结论 AB =A1B1； p A B A1 B1 A B B2 A2 A B A3(B3) AB > A1B1； 点 A3 活动2：如图，把一块正方形硬纸板 ABCD 如下放置： (1) 纸板平行于投影面 q； (2) 纸板倾斜于投影面 q； (3) 纸板垂直于投影面 q． 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ 归纳结论 相同 不同 一条线段 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同． 正投影性质 典例讲解 例1 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影． (1) 正方体的一个面 ABCD 平行于投影面； (2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面 ADEF 垂直于投影面，并且其对角线 AE 垂直于投影面． 例2 操作与研究：如图，△ABC 被平行光线照射，CD⊥AB 于D，AB 在 投影面上． (1)指出图中AC 的投影是什么，CD 与BC 的投影呢？ (2)探究：当△ABC 为直角三角形(∠ACB＝90°)时， 易得AC 2＝AD ·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理． 通过上述结论的推理，请证明以下两个结论： ①BC 2＝BD ·AB； ②CD 2＝AD ·BD. (1)解：AC 的投影是AD，CD 的投影是点D，BC 的投影是BD. (2)证明：①易证得△BCD∽△BAC， 可得BC 2＝BD ·AB； ②易证得△ACD∽△CBD， 可得CD 2＝AD ·BD. 相同 知识小结 正投影 平面图形的正投影 立体图形的正投影 不同 线段或平面 课堂练习 1. 球的正投影是 ( ) A. 圆面 B. 椭圆面 C. 点 D. 圆环 2. 木棒长为 1.2 m，则它的正投影的长一定 ( ) A. 大于 1.2 m B. 小于1.2 m C. 等于 1.2 m D. 小于或等于 1.2 m 3. 小明在操场上练习双杠时，在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子 ( ) A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法确定 A D B 4. 画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影． 解：如图所示： 5. 如图①，已知一根长 8 cm 的木棒 AB 平行于投影面α，投影线垂直于 α. (1) 求影子 A1B1 的长度； (2) 如图②，若将木棒绕其端点 A 逆时针旋转 30°，求旋转后木棒的影长 A2B2 ． 答案：(1) A1B1 = 8 cm. E (2) A2B2 = cm. 6. 一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是等腰三角形，如图所示，等腰三角形的腰长为13 cm高为12 cm，求该圆锥的体积及表面积． (提示：V圆锥＝πr 2h，其中r 是底面圆的半径，h 是圆锥的高) 解：由于圆锥的轴截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，因此圆锥的高等于等腰三角形的高；圆锥底面圆的半径等于等腰三角形底边长的一半． 如图，作AD⊥BC 于D，AB＝AC＝13 cm，AD＝12 cm， ∴CD＝5 cm， ∴r＝CD＝5 cm，h＝12 cm. ∴V圆锥＝ πr2h＝100π cm3， 底面周长为l＝2πr＝10π cm，R＝AC＝13 cm， S表＝ lR＋πr2＝90π cm2. $$