6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习任务 01 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算（重点） 会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题（难点） 分清向量平行与垂直的坐标表示（易混点） 02 04 03 能用向量方法证明两角差的余弦公式（重点） 01 探索新知 探索新知 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) ，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？ 探究 ？ 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j ， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0 所以a·b＝x1x2＋y1y2. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 探索新知 问题1　若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|呢？ 或|a|2＝x2＋y2 问题2　如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别 为A (x1，y1) ，B (x2，y2)，如何计算向量a的模？ 两点间距离公式 A(x1,y1) B(x2,y2) 探索新知 因为向量a若的单位向量， 若a＝(x，y) ， 则= ， 所以 = (x，y) = 此式为向量的单位向量a＝(x，y)的坐标表示 拓展 向量a的单位向量的坐标表示 探索新知 问题3　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a⊥b呢？ a⊥b x1x2＋y1y2＝0 问题4　怎样用坐标表示a∥b呢？ a∥b x1y2－x2y1＝0 探索新知 问题5　已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用坐标表示a， b的夹角呢？ a⊥b x1x2＋y1y2＝0 夹角公式的特例 探索新知 法一： 例10　若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想． 所以△ABC是直角三角形． 向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一. 探索新知 例10　若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想． 法二： 所以△ABC是直角三角形． 勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一 探索新知 解： 例11 设 a＝(5，－7)，b＝(－6，－ 4) ，求a·b及a，b的夹角θ(精确到1°). 利用计算器可得θ≈92°. 探索新知 例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β 证明：角 α， β的终边与单位圆的交点分别为A，B. 则(cos α ， sin α)， (cos β ， sin β) 设与 的夹角为θ， 所以+sin αsin β 则＝cos αcos β+sin αsin β 则＝ 探索新知 于是cos(α－ β)＝cos αcos β+sin αsin β 另一方面，如图（1）可知， θ 如图（2）可知，θ 于是± θ ，∈Z 所以cos(α－ β)＝ （1） （2） 02 题型突破 题型突破 题型一　平面向量数量积的坐标运算 题型突破 题型突破 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需要把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解. 题型突破 题型二　向量模的坐标表示 题型突破 题型突破 题型突破 求向量的模的两种基本策略 题型突破 题型三　向量的夹角与垂直问题 题型突破 题型突破 题型突破 利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤 (1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积 (2)求模.利用计算两向量的模 (4)求角.由向量夹角的范围及求的值. 03 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 课 堂 小 结 平面向量数量积的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 平面向量垂直、夹角的坐标表示 平面向量模的坐标表示 [例1]　(1)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \r(2)，则eq \o(AE,\s\up16(→))·eq \o(BF,\s\up16(→))的值是________． (1)eq \r(2)　[以