数列讲义-2024届高三数学一轮复习

命制：湖北温德克英联合教研工作室 审校：李守恒 孙仕杰 北智 专题4 数列 知识结构 知识清单 【易错警示】 (1)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，无常数项 (3)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (4)由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (5)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误． (6)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)． 【辨析演练】 1.现有下列说法正确的是_____②____ ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． ⑥递增的等比数列，公比一定大于1 ⑦若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列 考点探究 题型一 等差、等比数列 【方法储备】 等差、等比数列中的基本计算： (1)等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (3)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (4)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 判断等差数列的方法： (1)定义法 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔数列{an}为等差数列． (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列． 判断是等比数列的方法： (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． (4)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可． 等差数列的性质： 1.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 4．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. 5．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 等比数列的性质： 1.若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a. 2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. 4．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 5．当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. 6．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数