2023--2024学年苏科版九年级数学寒假提高 第2讲 数形结合 讲义

第2讲 数形结合 学校 　　　 学生姓名： 　 　　 教学目标： 1、了解数形结合数学思想的基本概念； 2、初步了解“数”与“形”的两种方法的特点以及数形结合数学思想在解题中的作用 3、初步掌握数与形转换的常见途径，并能有意识地运用数形结合数学思想解决实际问题； 4、通过学习，进一步感悟数学思想在解题中的作用，培养用理论指导实践的辩证思维能力。 知识要点： 数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形）。 典型例题： 一、构造几何图形解决代数问题 1、已知不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是 ． 2、当代数式取最小值时，相应的x的取值范围是 ． 3、已知，若，则y的范围 ． 4、已知y=，则y的最小值为 ． 二、用代数方法解决图形问题 5、如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． （1）若AP=1，则AE ； （2）①求证：点一定在△APE的外接圆上； ②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长； （3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动，过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM，PN，当点N运动到点A时，M，N两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）当t=　　秒时，动点M，N相遇； （2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （3）取线段PM的中点K，连接KA，KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由． 三、数形结合解决函数问题 7、已知函数，则使成立的x的值恰好有三个，则k的值为______ 8、试比较和的大小。 9、在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的 “倒影点”．直线上有两点，它们的倒影点均在反比例函数的图像上．若，则____________． 10、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．如图，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由． 课后作业： 1、 求代数式的最小值是 。 2、关于x的方程的一个根大于2，另一个根小于2，那么实数m的取值范围是____ 3、已知：如图，在正方形ABCD中，F是AD的中点，BF与AC交于点G，则△BFC与四边形CGFD的面积之比是　　　　　　． 4、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论： ①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有________ 5、如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF长　 　． ( 每日一题 ) 如图，在平面直角坐标系中，已知，两点的坐标分别为，，是线段上一点（与，点不重合），抛物线（）经过点，，顶点为，抛物线（）经过点，，顶点为，，的延长线相交于点． （1）若，，求抛物线，的解析式； （2）若，，求的值； （3）是否存在这样的实数（），无论取何值，直线与都不可能互相垂直？若存在，请直接写出的两个不同的值；若不存在，请说明理由． 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$