平面向量的数量积 讲义-2024届高三数学一轮复习

平面向量数量积 一、学习目标 1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 2.会计算平面向量的数量积，能用坐标表示平面向量的数量积. 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，会表示两个平面向量的夹角. 二、知识梳理 1.平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角 已知两个非零向量 和 ， 是平面上的任意一点，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角. 当 时， 与 相互垂直，记作 ； 当 时， 与 共线且同向； 当 时， 与 共线且反向. （2）向量数量积的定义 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 . 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即 . （3）投影向量 设 是向量 与向量 的夹角， 为与 方向相同的单位向量，则 叫做向量 在向量 上的投影向量. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 已知两个非零向量 ， ， 与 的夹角为 . 模 夹角 的充要条件 与 的关系 ，当且仅当 时等号成立 注 意 ，当 与 同向时， ； 当 与 反向时， . 3.平面向量数量积的运算律 交换律 结合律 分配律 = 知识拓展 有关向量夹角的两个结论 （1）若两个向量 与 的夹角为锐角，则 ，反之不成立（夹角为0时不成立）； （2）若两个向量 与 的夹角为钝角，则 ，反之不成立（夹角为 时不成立）. 三、典例探究 考点一 平面向量数量积的运算 例1 已知向量 , 的夹角为 ，且 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 变式： ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 方法感悟 求非零向量 ， 数量积的三种方法 （1）定义法： . （2）坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设 ， ，则 .②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求解. （3）几何法：灵活运用平面向量的数量积的几何意义进行求解. 考点二 平面向量数量积的性质及应用 例2 已知 ， ， ，则 . 变式：若向量 ， 满足 ， ， ，则 . 例3已知单位向量 ， ， 满足 ，则向量 和 的夹角为( ) A. B. C. D. 变式：已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为( ) A. B. C. D. 例4已知 , , ,若 与 的夹角为 ,且 ,则实数 的值为( ) A. B. C. D. 变式：已知向量 ， ， ，若 ，则 . 四、达标练习 1.已知向量 , 满足 , , ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 向量 ， ，若 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知向量 ， ，且 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 4. 满足 ，且 ， ，则向量 与 的夹角为( ) A. B. C. D. 5.定义： ，其中 为向量 与 的夹角.若 ， ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 6. 已知向量 , , ，若 = ，则 ( ) A. B. C. D. 7. 设向量 ， ，且 ，则 . 8.已知平面向量 ， ， ， ，且 与 的夹角为 . （1） 求 ； （2） 求 ； （3） 若 与 垂直，求 的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$