浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试卷

嘉兴市第一中学2024届高三第一模拟测试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知复数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

2．已知集合，则集合的元素个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．已知向量，，若实数λ满足，则（    ）

A． B． C． D．1

4．已知，，，则下列结论错误的为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

5．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（    ）

A．16 B．17 C．18 D．19

6．已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

7．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列说法正确的是（    ）

A．正切函数是周期函数，最小正周期为π

B．正切函数的图象是不连续的

C．直线是正切曲线的渐近线

D．把的图象向左、右平行移动个单位，就得到的图象

10．下列说法正确的是（    ）

A．事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥．

B．若，且，则事件A与事件B不是独立事件．

C．若事件A，B，C两两独立，则．

D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立．

11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（    ）

A．点在直线上 B．是的中点

C． D．轴

12．已知函数，，则（    ）

A．当时，有2个零点

B．当时，有2个零点

C．存在，使得有3个零点

D．存在，使得有5个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．展开式中的常数项是120，则实数      ．

14．若数列满足，则          .

15．半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为      ．

16．对任意，函数恒成立，则a的取值范围为           ．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17．（本题10分）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

18．（本题12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.

(1)求角A；

(2)作角A的平分线与交于点，且，求.

19．（本题12分）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，点是边的中点，点在边上，且．以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接．

(1)若是线段的中点，求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

20．（本题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.