浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试卷

嘉兴市第一中学2024届高三第一模拟测试 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知复数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知向量，，若实数λ满足，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知，，，则下列结论错误的为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 6．已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 7．正四面体的棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的是（    ） A．正切函数是周期函数，最小正周期为π B．正切函数的图象是不连续的 C．直线是正切曲线的渐近线 D．把的图象向左、右平行移动个单位，就得到的图象 10．下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥． B．若，且，则事件A与事件B不是独立事件． C．若事件A，B，C两两独立，则． D．从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立． 11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（    ） A．点在直线上 B．是的中点 C． D．轴 12．已知函数，，则（    ） A．当时，有2个零点 B．当时，有2个零点 C．存在，使得有3个零点 D．存在，使得有5个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．展开式中的常数项是120，则实数 ． 14．若数列满足，则 . 15．半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 ． 16．对任意，函数恒成立，则a的取值范围为 ． 4、 解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 17．（本题10分）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18．（本题12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求角A； (2)作角A的平分线与交于点，且，求. 19．（本题12分）如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，点是边的中点，点在边上，且．以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接． (1)若是线段的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 20．（本题12分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为. (1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为， （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，. 21．（本题12分）已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为． (1)求双曲线的标准方程． (2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若． ①求证：为定值； ②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标． 22．（本题12分）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：； (3)求证：对于任意都有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 2．B 3．A 4．D 5．D 6．B 【详解】，数列是公比为2的等比数列，则， 即， . 故选：B 7．C 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则. 因为正四面体的棱长为3，所以， 所以，设内切球的半径为