8.6 空间直线、平面的垂直 练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 练习 一、单选题 1．已知菱形的边长为2，.将菱形沿对角线AC折叠成大小为60°的二面角.设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为（      ） A． B． C． D． 2．已知中，，在线段上取一点，连接，如图①所示．将沿直线折起，使得点到达的位置，此时内部存在一点，使得平面，如图②所示，则的值可能为（    ） A． B． C． D．1 3．已知直线平面，直线平面，有下面四个命题，其中正确的命题是（    ） A． B． C． D． 4．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（    ）    A．直线与是异面直线 B．平面平面 C．该几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 5．小明将与等边摆成如图所示的四面体，其中，，若平面，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在直三棱柱中，分别为线段的中点，，平面平面，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 二、多选题 9．已知正方体，点满足，下列说法正确的是（    ）    A．存在无穷多个点，使得过的平面与正方体的截面是菱形 B．存在唯一一点，使得平面 C．存在无穷多个点，使得 D．存在唯一一点，使得平面 10．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得分别为棱的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与所成角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的表面积为 11．如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则 C．若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为 D．周长的最小值为3 三、填空题 12．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为 ．    13．点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 14．已知正方体，点为线段上的点，则满足平面的点的个数为 . 四、解答题 15．如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P． (1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角的大小． 16．如图，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且．求证：平面平面．    17．四边形是正方形，平面，且．求：    (1)二面角的平面角的度数； (2)二面角的平面角的度数； (3)二面角的平面角的度数． 18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 19．如图，已知是棱长为的正方体，E，F分别是，的中点． (1)哪些棱所在的直线与直线垂直？ (2)求异面直线与所成的角． 20．如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 参考答案： 1．A 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为.    故选：A 2．B 【分析】寻找点的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断的取值范围. 【详解】连接．因为平面平面，所以， ．在Rt中，， 所以． 所以在Rt中，． 因为在中，，所以是直角三角形， 且． 因为，所以点在以点为圆心，为半径的圆上． 作于点，因为点到直线的距离，且， 所以圆与线段交于两点，记为和，记圆与线段的交点为，如图所示． 在中，由余弦定理得，代入数据，解得； 同理，在中，．因为，所以点在线段上． 因为点在内部，所以点在弧上