24.4 弧长、扇形与圆锥的相关计算 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学上册

24.4弧长、扇形与圆锥 【过关笔记】 三、弧长公式 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即。于是n°的圆心角所对的弧长为l=。 注意：在弧长公式中，n和180都不带单位“度”。 四、扇形的面积公式 1.定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 如图，阴影部分扇形记做扇形OAB，白色部分扇形记做扇形OACB。 2.扇形面积公式 （1）在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积是 （2）用弧长表示扇形面积为S扇形=lR，其中l为扇形的弧长，R为半径。 五、圆锥 1.概念：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 2.母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。如图，PA和PB。 3.圆锥侧面展开图：沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形； 所以圆锥底面圆周长=侧面展开扇形的弧长 4.r2+h2=母线2； 5.圆锥的侧面积和全面积：S侧=πr母线；S全=πr母线+πr2 【成长例题】 例题1-1一个扇形的半径长为5，且圆心角为60°，则此扇形的弧长为　π　 例题1-2一个扇形的弧长是cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　36　度 例题1-3已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为　24　 例题1-4（19•鞍山）如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为　2π　． 1-4图 2-2图 例题2-1有一个半径为3的圆中画一个扇形，圆心角为120°，该扇形面积为　3π　 例题2-2如图，扇形的弧长是20π，面积是240π，则此扇形的圆心角的度数是　150°　． 例题2-3（19•锦州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为　　． 2-3图 3-1图 例题3-1（2019·一中·月考）如图，一张扇形纸片OAC，∠AOC＝120°，OA＝8，连接AB，BC，AC，若OA＝AB，则图中阴影部分的面积为　　（结果保留π）． 例题3-2如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为　2π　． 3-2图 3-3图 例题3-3（2020·十七中·期中）如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为　 　． 例题3-4（2020·七中·期中）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　D　） A． B． C．2 D．2 例题4-1（2019·育才·第三次月考）一圆锥的底面半径为2，母线长3，则这个圆锥的侧面积为　6π　． 例题4-2（2020·一中·月考）圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是　216　度． 例题4-3在学校组织的实践活动中，小明同学制作了一个圆锥模型，它的底面半径为5，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的母线长为　10　 例题4-4（19•营口）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216°，母线长为5，该圆锥的底面半径为　3　． 【过关练习】 练习1-1一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为　9　cm 练习1-2已知圆锥的底面半径为20，侧面积为600π，则这个圆锥的母线长为　30　． 练习1-3（2019·一中·月考）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为8cm的半圆，则该圆锥的底面半径为　4　cm． 练习1-4（2020·十七中·期中）若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　B　） A．90° B．120° C．150° D．180° 练习1-5（2019·育才·期中）如图，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为　7.5　cm． 1-5图 1-6图 练习1-6如图1，OC是⊙O的半径，弦AB垂直平分OC，垂足为点D，AB＝6cm，连接OA，OB，将图中阴影部分的扇形OAB剪下围成一个圆锥的侧面（如图2），则圆锥的底面圆半径是　2cm　． 练习1-7把一个半径为3cm的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为　cm　． 练习1-8（2020·七中·期中）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝4，扇形的圆心角θ＝120°，则