23.3课题学习 图案设计　讲义　2023—2024学年人教版数学九年级上册

23.3升级旋转 【新手目标】 通过本关，会利用旋转构图作适当的辅助线，结合全等常见模型处理新的问题 关卡2-1 利用旋转性质解决问题★★★★☆☆ 【成长例题】 例题1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B． （1）请你判断BC′与AB′的位置关系，并说明理由； （2）求BC′的长． 例题2（2020·老边实验·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 关卡2-2 利用旋转构图（等边、等直）★★★★☆☆ 【过关笔记】 旋转部分图形，构造等边三角形或等腰直角三角形来解决问题；求线段长度常需构造直角三角形 【成长例题】 例题1-1 已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．求∠APB的度数． 1-1题图1-2图 例题1-2（2020·育才·期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是△ABC内一点，若PA＝1，PC＝2，∠APC＝135°，则PB的长为 ． 【过关练习】 练习1-1 请阅读下列材料： 问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长． 李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长． 练习1-2（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB＝150°．求证：AP2+BP2＝CP2 证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形 ∴∠APP′＝60° PA＝PP′，PC＝　 ∵∠APB＝150°∴∠BPP′＝90° ∴P′P2+BP2＝　 　 即PA2+PB2＝PC2 （2）类比延伸： 如图②在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明． （3）联想拓展： 如图③在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点P在直线AB上方，且∠APB＝60°，满足（kPA）2+PB2＝PC2，请直接写出k的值． 关卡2-3 线段数量关系★★★★★★ 【成长例题】 例题1 （2020·一中·月考）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＝ON），∠AOB＝∠MON＝90°． （1）如图1：连AM，BN，求证：△AOM≌△BON； （2）若将△MON绕点O顺时针旋转， ①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝4，ON＝3，请直接写出线段BN的长． 例题2（2021·十七中·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ． （1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系． （2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请求出BQ的长 【过关练习】 练习1（2020·育才·期中）如图 1，已知等腰Rt△ABC中，E为边AC上一点，过E点作EF⊥AB于F点，以EF为边作正方形EFAG，且AC＝3，EF＝2 （1）如图1，连接CF，求线段CF的长 （2）将等腰Rt△ABC绕A点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC、MF，求MC与MF的关系 （3）将△ABC绕A点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为　 　． 关卡2-4 旋转&半角模型★★★★★★ 【成长例题】 例题1（2021·一中·期中）如图，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，