22.2 二次函数与一元二次方程　讲义　2023—2024学年人教版数学九年级上册

22.2 二次函数与一元二次方程★★★★★☆ 【新手目标】 理解一元二次方程根的几何意义，掌握二次函数与一元二次方程之间的关系； 知道抛物线与x轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况。 关卡2-1 二次函数与一元二次方程/不等式★★☆☆☆☆ 【过关笔记】 二次函数y=ax2+bx+c,当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0，所以抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根； b2-4ac的取值 b2-4ac＞0 b2-4ac=0 b2-4ac＜0 二次函数y=ax2+bx+c的图象 a＞0 a＜0 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的交点 有两个交点 （x1,0）和（x2,0） 有一个交点 （-,0） 无交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的三种情况，对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况： 【成长例题】 例题1-1（2019·育才·第一次月考）二次函数y＝﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为　（3，0）　． 例题1-2已知二次函数y＝−x2−2x＋m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程−x2−2x＋m＝0的解为 −3或1 例题2-1（2019·七中·月考）将抛物线y＝x2+2x-1向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（　D　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 例题2-2若函数y＝（a−1）x2−2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 2 或1 ． 例题2-3（2021·一中·期中）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n＝　9　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x＝﹣时，y＝0．且b2﹣4c＝0，即b2＝4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n），∴点A、B关于直线x＝﹣对称， ∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n＝（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c＝﹣b2+c+9 ∵b2＝4c，∴n＝﹣×4c+c+9＝9． 例题3-1（2021·一中·期中）如图，抛物线y＝x2+x﹣5与x轴交于点A和点B，点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝20时，求点E的坐标． 【解答】解： E（﹣2，﹣5）或（0，﹣5）． 例题3-2（2020·育才·月考）已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m， （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值． 【解答】证明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0① ∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0，∴方程①有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）令：x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+4，解得m＝﹣1+或﹣1﹣． 例题4（2020·一中·月考）已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　D　） A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 例题5-1（2020·一中·月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　D　） 5-1图 5-2图 A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 例题5-2（2021·五中·期中）二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与一次函数y2＝kx+b的图象如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x的取值范围　﹣2＜x＜1　． 例题5-3（2019·育才·第一次月考）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　C　） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 例题6-1已知抛物线y=2(k+1)x2+4kx+2k-3与x轴有两个交点， （1）求k的取值范围； （2）当抛物线经过原点时，①求k的值；②当y＞0时，求x的取值范围。 答案：（1）k＞3且k≠-1；（2）k=1.5;x＞0或x＜-1.2 例题6-2（2020·一中·月考）如图，抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2＝x+b交于A，B（1，0）两点． （1）分别求c，b的值． （2）求y1﹣y2的最大值． （3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何