第27章 教材变式专题 三角形内接特殊四边形问题-【夺冠计划】2023-2024学年九年级下册数学创新测评（人教版 江西专用）

下册·第二十七章 火夺冠计划 创新测评☑ 教材变式专题 三角形内接特殊四边形问题 /教材原题。 东 —“相似三角形对应高的比等于相似比” [教材58页复习题第11 这个等量关系，将已知边长和未知边长放在一 题]如图，一块材料的形状是锐角 个方程中 三角形ABC,边BC-120mm,高 Y/变式训练。 AD=80mm.把它加工成正方 1.如图，有一块三角形土地， 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶 它的底边BC=100m,高 点分别在AB,AC上，这个正方形零件的边长 AH=80m.某单位要沿着 是多少？ 边BC修一座底面是矩形 【分析】(1)从总体上讲本题考查的是相似三 DEFG的大楼，点D,G分别在边AB,AC 角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比 上.若大楼的宽DE是40m,求矩形DEFG (2)解决本题的关键点：由EF∥GH得到 的面积. △AEFC∽△ABC. (3)考查形式：正方形内接于三角形，求正 方形的边长与三角形边长之间的关系。 【解】设这个正方形零件的边长是xmm, 则EF=xmm. .'AD⊥BC,AD=80mm, ∴.AK=(80-x)mm. ,正方形EFHG内接于△ABC, 2.如图，一块铁皮余料的形状 .EF∥GH, 是三角形，边BC=160cm, ∴.△AEF△ABC, 高AD=120cm.从中截取一 既然即高0 个面积为3600cm2的矩形 80 EFGH,使点H在AB上，点G在AC上，点E, 解得x=48, F在BC上，AD交HG于点M求EH的长. .这个正方形零件的边长是48mm. 【方法指导】解决本题的关健： (1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个 顶点都在三角形的边上，故：①正方形的一边 与三角形的一边平行，从而得到三角形相似； ②大三角形的高等于正方形的边长与小三角 形的高之和， (2)方程思想.利用相似三角形的性 31 夺冠计划 创新测评▣ 九年级数学·RJ版 3.心数学核心索养 应用意识 4.如图，点A的坐标为(2,2)，忄 如图，王爷爷家有一块三角形 点C在线段OA上运动（点 荒地ABC,AB=AC=5m, C不与点O,A重合)，过点C BC一6m.现打算把它开垦出 作CD⊥x轴于点D,再以 0 一个矩形MNFE区域种植韭菜，△AMN区 CD为一边在CD右侧画正方形CDEF,连 域种植芹莱，△CME和△BNF区域种植青菜 接AF并延长交x轴于点B,连接OF,若 (开垦土地面积损耗均忽略不计)，其中点M, △BEF与△OEF相似，求点B的坐标. N分别在AC,AB上，点E,F在BC上.已知 韭菜每平方米收益10元，芹菜每平方米收益 6元，青菜每平方米收益4元，设CM=5xm, 王爷爷种植的蔬菜的总收益为W元 (1)当矩形MNFE恰好为正方形时，求种植 韭菜区域的面积： (2)若种植韭菜的收益等于种植另两种蔬菜 的收益之和的2倍，求这时x的值； (3)求王爷爷种植的蔬菜的总收益W关于x 的函数解析式及W的最大值。 32下册·参考答案 夺冠计划 创新测评乙 3￥5. 3.解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于 当点B在点E的左侧时，如图 同理可得S△An:S△cn=9:25. 点H,交MN于点D. 6,2或号【解析】：SAae:S华u =4:21, .SAAD SAARC=41 25, ,∴，△ADE与△ABC相似比为2：5. O DBE ①当△ADB△ACB时，把-号 此时OB=OE-EB=3 -5 .AB=AC,AHLBC, AC=5,∴AD=2: ..CH=HB=3. 3 ②当△ADB△ABC时，裙=号 在R△ACH中，AH=√⑤-32=4 AB=6AD=号 :ME∥AH,.△CEA∽△CHA, x器 0,解得4=号则OB=1, =工 .B1,0): 综上所述，AD=2或号 ∴.CE=3x,EM=4x 当点B在点E的右侧时，OB=OE+ 7,解：(1)全等.证明如下： 易证△MEC≌△NFB, .CE=BF=3 B- 2 5 ",四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90 若矩形MNFE为正方形， AB=CD. 则EM=EF=4x, “0,心解得1=号，则OB=3, 由折叠的性质可知，∠A=∠A:,∠B ∴3x十4x十3x=6,解得x= 51 .B(3,0) =∠ADF=90°，AB=A1D, ∴.∠A1=∠C=90°，A:D=DC EM=EF=号， 综上所述，点B的坐标为(6,0)或(1， 0)或(3,0). '∠ADE+∠EDF-90°，∠CDF+ ∴种植韭菜区域的面积为EF·EM ∠EDF=90°， 方法技巧专题相似三角形的 .∠ADE=∠CDF =号×号-m) 性质和判定 .△EDA:≌△FDC(ASA) (2)由题意，得10×4z·(6-6