第27章 方法技巧专题 相似的综合与探究-【夺冠计划】2023-2024学年九年级下册数学创新测评（人教版 江西专用）

下册·第二十七章 火夺冠计划 创新测评☑ 方法技巧专题 相似的综合与探究 类型①与相似有关的存在性问题 (1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式； 1.如图，正方形ABCD的边长为 (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一 4,E是BC的中点，点P在射 点M,过点M作MN垂直于x轴，垂足为 线AD上，过点P作PF⊥AE N,使得以M,O,N为顶点的三角形与 于点F. △BOC相似？若存在，求出点M的坐标：若 (1)求证：△PFA∽△ABE: 不存在，请说明理由， (2)当点P在射线AD上运动时，连接PE. 设PA=x,是否存在实数x,使得以P,F,E 为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求 出x的值；若不存在，请说明理由. 2.如图，直线y-2x十2与x轴 交于点A,与y轴交于点B. 把△AOB沿y轴翻折，点A 落到点C处，过点B的抛物线 y-一x2十bx十c与直线BC 交于点D(3,一4) 35 夺冠计划创新测浮 九年级数学·RJ版 类型②.与相似有关的归纳探究问题 4.(2022九江濂溪区期末)【证明体验】(1)如图 3.在△ABC中，CA=CB,∠ACB=a.P是平 ①，AD为△ABC的角平分线，∠ADC 面内不与点A,B,C重合的任意一点，连接 60°，点E在AB上，AE-AC.求证：DE平分 AP,将线段AP绕，点P逆时针旋转α得到线 ∠ADB: 段DP,连接AD,BD,CP. 【思考探究】(2)如图②，在(1)的条件下，F 如图①，当。=0时，兴的值是 为AB上一点，连接FC交AD于点G,若 FB=FC,DG=2,CD=3,求BD的长； 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度 【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD中， 数是 对角线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠ACD, (2)如图②，当a=90时，请写出那的值及 点E在AC上，∠EDC-∠ABC.若BC=5, 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度 CD=25,AD=2AE,求AC的长 数，并说明理由。 图③ 图① 困② 36男夺冠计划 创新测评 九年级数学·RJ版 5.解：(1)证明：，∠BCE-∠ACD, AG∥CD ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD十 ∴∠CAG=∠ACD,∠AGC=∠CD. ∴EF=2AE=5. ∠ACE,即∠ACB=∠DCE 点A关于CD的对称点为E, 又".'∠A=∠D,.△ABC∽△DEC ,.∠FCD=∠ACD, 又黑器…器-停 (2),'△ABC∽△DEC,S6Ac ,.∠CAG=∠AGC .PE-5,PA=5,即x=5. SArEC=49,BC EC=4:9, 综上所述，存在满足条件的实数x,其 即品=告解得BC-9 值为2或5. 2解：(1)由题意，得A(一1,0)，B(0, 6解：(1)证明：如图，取BF的中点M, 2),C1,0) 连接OM,OF 设直线BD对应的函数解析式为y BF=2BE,.BM=MF-BE, 克x十n ∴∠C0B=是∠BOR 把点B(0,2),C(1,0)的坐标分别代 (2)过点F作FK⊥AB于点K,如图. 入y=x十m, “∠A=∠BOR,∠COB=∠A ,∠KEF=∠MEC,∠FKE ∠CME=90°，∴△KEF△MEC, 得o解得次2 1m=2, ',直线BD对应的函数解析式为y -2x+2. 设EK=2x,则EM=5x. 把点B(0,2),D(3,一4)的坐标分别 ,”点A关于CD的对称点为E 代人y=-x2+a+c, ∴AM=EM=5x,.AK=AM+EM +EK=12x (2)如图，连接BE 得仁十=-4解得2 1c-2, FK⊥AB,CD⊥AB,,FK∥CD, ,'CD为⊙O的切线，AB ICD “弛物线对应的函数解析式为y= ,△APk∽△AFK, .∠OBC=∠ABD=90° -x2+x+2. 又：∠OOB=∠A, ,∴.△OBC ·A=AK=12x12 (2)存在。 C∽△ABD, :AB为⊙0的直径，且CD⊥AB, 由题意，得C0=1,BO=2.分两种情 器-品，即高解得D 况讨论： AC=AD,,'.∠ACD=∠ADC ①当△MNO∽△BOC时， =8 又，∠FCD=∠ACD, 在Rt△ABD中，AD=/AB+BD ∠FCD=∠ADC,.CF∥AD, 有器器，即- 2 AP ,∴.MN=2ON. =/+8=10. 设ON=a,则M(a,2a). 'AB是⊙O的直径 9.证明：(1)：∠DAE+∠AED+∠ADE 将点M(a,2a)的坐标代入y=一x .∠AFB=90, =180°，/BAC+/B+/C=180°， ∠BFD=∠ABD=9O +x十2，得-a2+a+2=2a,解得a ∠AED-∠B.∴∠ADE-∠C 又∠D=∠D, 又：ADDF =一2（不合题意，舍去）