专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题03 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理 梯子模型 如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图 2),就是所谓的梯子模型。 [考查方向]已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,求线段最值问题。 模型一: 如图所示,线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，LACB= ZAOC= 90°AC的中点为P,连接 OP、BP、OB,则当 O、P、B三点共线时,此时线段 OB最大值。 即已知 RtAACB中AC、BC的长,就可求出梯子模型中 OB的最值 模型二: 如图所示,矩形ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM、ON上,当点A在边 OM上运动时,点 B随之在 ON上运动，且运动的过程中矩形 ABCD形状保持不变，AB的中点为P,连接 OP、PD、OD,则当 O、P、D三点共线时,此时线段 OD 取最大值 四边形中对角互补模型 对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似. 模型一：含90°的全等型 1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC. 2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB. 则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC. 图1 图2 图3 模型二、：含60°与120°的全等型 如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论： ①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC. 梯形中位线定理 （1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线 （2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 类型一：梯子模型 【典例1】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 ． 【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是 　　． 【变式1-2】如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是 　 　． 类型二：四边形中对角互补模型 【典例2】在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD． （1）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系为 　 　； （2）如图2，若将（1）中的条件“∠B＝90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由； （3）如图3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求线段AC的长和四边形ABCD的面积． 【变式2-1】如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． （1）求点P的坐标． （2）当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出OA2+OB2的最小值． 【变式2-2】四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”． （1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为 　　； （2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD． 求证：AC平分∠BCD． 小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM＝BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为：　 ； （3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明： ①AC平分∠BCD； ②CA＝CB+CD； （4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则BA、BC、BD三者关系为：　 　． 类型三：梯形中位线定理 【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，A