专题04 中考几何五大最值问题-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题04 中考几何五大最值问题 模型一：将军饮马问题 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 模型二：阿氏圆问题 阿氏圆问题 问题：求解“”类加权线段和最小值 方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值 ②造：根据线段比，构造母子型相似 ③算：根据母子型结论，计算定点位置 ④转：“”转化为“”问题 关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数 ②系数小于1：内部构造母子型 ③系数大于1：外部构造母子型 模型三：胡不归问题 识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段） 方法： 1、将所求线段和改为的形式（） 2、作，使 3、过点B作交AC于点P 4、的最小值转化为垂线段的长 注意：当k＞1时， 模型四：隐圆 （一）：定点定长作圆 点A为定点，点B为动点，且AB长度固定， 则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。 （二）：点圆最值 已知平面内一定点D和O，点E是O上一动点，设点O与点D之间距离为d，O半径为r. 位置关系 点D在圆O内 点D在圆O上 点D在圆O外 图示 DE的最大值 d＋r  2r  d＋r 此时点E的位置 连接DO并延长交O于点E   DE的最小值 r－d 0 d－r 此时点E的位置 连接OD并延长交O于点E 点E与点D重合 连接OD交O于点E （三）定弦定角解决问题的步骤： （1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧。 （2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为、） （3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置 （4）计算隐形圆的半径 （5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来 （6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径 模型五：费马点 【费马点问题】 问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？ 图文解析： 如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′， ∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′． ∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长 ∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′ 【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】 ∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°， ∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°， ∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°. 因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段. 【知识应用】两点之间线段最短. 模型一：将军饮马问题 1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，若△CDM的周长的最小值为13，则等腰三角形ABC的面积为（　　） A．78 B．39 C．42 D．30 2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的