专题08 三角函数的积化和差与和差化积（考点解读+考点归纳+9类题型）-【练透核心考点】2023-2024学年高一数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

专题08 三角函数的积化和差与和差化积 能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式；了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力；通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养；借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养； 一、《必修第二册》目录与内容提要 第6章 三角 6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角 6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用 6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理； 第六章内容提要 2、常用三角公式 和角与差角公式：，， ； 二、考点解读 1、积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． 2、和差化积公式 设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝，β＝.这样，上面的四个式子可以写成， sin x＋sin y＝2sin cos ； sin x－sin y＝2cos sin ； cos x＋cos y＝2cos cos ； cos x－cos y＝－2sin sin . 【说明】和差化积公式的适用条件是什么？ 【解析】只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式； 1、积化和差公式； 2、和差化积公式； 3、常用三角变换公式与技巧； 题型1、与积化和差问题相关 例1、（1）求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. （2）求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. 【说明】积化和差公式的功能与关键： （1）功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式； ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质； （2）关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数； 题型2、与和差化积问题相关 例2、（1）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值； （2）已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，试求cos(α＋β)的值； 【说明】和差化积公式应用时的注意事项： 1、在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次； （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项； （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos－cos α； 题型3、积化和差与和差化积问题的简单整合 例3、（1）求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值． （2）sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°＝________. 题型4、与解决三角形问题的交汇 例4、（1）在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinsincos； （2）在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cos ·cos cos ； 【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证； 特别注意： 1、解决与三角形有关问题时应注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等； 2、在△ABC中有一些重要的三角关系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C； sin＝cos，cos＝sin；sin(2A＋2B)＝－sin 2C；cos(2A＋2B)＝cos 2C； 题型5、利用积化和差与和差化积公式进行探究 例5、在中，，且，能否利用求出和的大小?若能，请求出;若不能，请说明理由. 【说明】本题三角恒等变换与对数的简单交汇；用到了待定系数法与等价转化思想； 题型6、利用积化和差与和差化积公式求角 例6、（1）若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈