2024年 九年级数学中考复习 二次函数与特殊平行四边形综合压轴题 专题训练

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》 专题训练(附答案) 1.如图,若二次函数的图象与轴交于点、,与轴交于点,连接. (1)求该二次函数的解析式; (2)若点Q是抛物线上一动点,在平面内是否存在点K,使以点B、C、Q、K为顶点,BC为边的四边形是矩形?若存在请求出点K的坐标;若不存在,请说明理由. 2.已知抛物线与轴的交点为点、点且,点是抛物线的一个动点不与点、重合,作轴于点,线段的最大值是. (1)求抛物线的解析式. (2)当点运动到什么位置时,图中的矩形是正方形?并求出点的坐标. (3)是否在此抛物线上存在点使得与相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A(4,0)和点B(−1,0),与y轴交于点C,连接AC.点P是第一象限内抛物线上的一点,其横坐标为m.过点P作PD⊥x轴于点D,交AC于点E,过点P作PG⊥PD(点G在点P左侧),使,以PE、PG为邻边作矩形PEFG. (1)求抛物线的解析式; (2)当点G在抛物线上时,求矩形PEFG的周长; (3)当直线AC将矩形PEFG的面积分为1:3两部分时,求m的值. 4.已知抛物线过点 (1)若,求a的值; (2)如图,顶点M在第一象限内,B、C是抛物线对称轴l上的两点,且,在直线l右侧以BC为边作正方形BCDE,点E恰好在抛物线上. ①求am的值; ②试判断点E和点A是否关于直线l对称,如果对称,请说明理由,如果不对称,请举出反例. 5.如图所示抛物线y=a+bx+c由抛物线y=﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到,与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于C,直线y=kx+b过B、C两点. (1)写出平移后的新抛物线y=a+bx+c的解析式;并写出a+bx+c>kx+b时x的取值范围. (2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,连接PO、PC,并把 POC沿CO翻折,得到四边形POC,那么是否存在点P,使四边形POC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)当点P运动到什么位置时, PBC的面积最大?求此时点P的坐标和 PBC的最大面积. 6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是点C关于x轴的对称点. (1)求抛物线与直线BD的解析式; (2)点P为直线BC上方抛物线上一动点,当 BPC的面积最大时,求点P的坐标. (3)在(2)的条件下,当 BPC的面积最大时,在抛物线的对称轴上有一动点M,在BD上有一动点N,且MN⊥BD,求PM+MN的最小值; (4)点Q是对称轴上一动点,点R是平面内任意一点,当以B、C、Q、R为顶点的四边形为菱形时,直接写出点R的坐标. 7.如图,抛物线y=a+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(,0)和点B,与y轴交于点C(0,8),点P为直线BC上方抛物线上的动点,连接CP,PB,直线BC与抛物线的对称轴l交于点E. (1)求抛物线的解析式; (2)求 BCP的面积最大值; (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点. ①是否存在点M,使得 BEM为等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. ②请在平面内找到一点N,使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形,并直接写出N点的坐标. 8.如图,抛物线交x轴于A(-2,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,连AC、BC.M为线段OB上的一个动点,过点M作PM⊥x轴,交抛物线于点P,交BC于点Q.(备用公式:点与点的距离为) (1)求抛物线的表达式; (2)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.设M点的坐标为M(m,0),请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少? (3)试探究点M在运动过程中,平面内是否存在点D,使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是菱形.若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 9.在平面直角坐标系中,抛物线(m为常数)的顶点为A. (1)当时,求点A的坐标,以及抛物线与y轴交点的坐标; (2)若点A在第一象限,且OA=,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值y随x增大而减小时x的取值范围; (3)当x≤2m时,若函数的最小值为3,求m的值; (4)分别过点、作y轴的垂线,交抛物线的对称轴于点M、N.当以点P、Q、N、M为顶点的四边形总是矩形时,直接写出m的取值范围. 10.如图,抛物线交x轴于,两点,交y轴于点,点P是抛物线第四象限内的动点. (1)求抛物线的解析式; (2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D和点E,当四边形是正方形时,求P的坐标; (3)连接、,过点P作交线段于点Q,连接、、,记与面积分别为,,设,求S的最大值