专题7.3 三元一次方程组【八大题型】-2023-2024学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题7.3 三元一次方程组【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 三元一次方程（组）的解】 1 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 2 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 2 【题型4 用整体思想解三元一次方程组】 3 【题型5 构造三元一次方程组求解】 4 【题型6 三元一次方程组的阅读理解类问题】 4 【题型7 三元一次方程组中的数字问题】 5 【题型8 三元一次方程组的应用】 6 【知识点 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【题型1 三元一次方程（组）的解】 【例1】（2023·陕西·七年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（    ） A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个 【变式1-1】（2023下·七年级课时练习）三元一次方程的正整数解有（    ） A．2组 B．4组 C．6组 D．8组 【变式1-2】（2023下·河南南阳·七年级统考期中）已知方程组与方程组有相同的解，则a、b、c的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】（2023下·重庆綦江·七年级校联考期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，，先将方程①中的未知数系数排成数列，然后执行如下步骤：（如图）第一步，将方程②中的未知数系数乘以3，然后不断地减一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 方程①： 第一步方程②： 第二步方程③： 其实以上步骤的本质就是在消元，根据以上操作，有下列结论：（1）数列M为：（2）（3）其中正确的有（    ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【变式2-1】（2023下·全国·七年级专题练习）有理数、、满足，则的值是（　　） A． B．3 C．4 D．值不能确定 【变式2-2】（2023下·四川遂宁·七年级统考期末）解方程组． 【变式2-3】（2023·浙江·模拟预测）实数满足．则 ． 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考阶段练习）已知x，y，z满足，且，则 ． 【变式3-1】（2023下·七年级课时练习）若且，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2023下·上海杨浦·七年级校考期末）解方程组：． 【变式3-3】（2023下·内蒙古乌海·七年级校考期中）探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组，如果令=A，=B，=C，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【题型4 用整体思想解三元一次方程组】 【例4】（2023上·山东济南·七年级统考期中）在求代数式的值时，可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：①得：③ ②③得： ∴的值为2． (1)已知，求的值； (2)马上期中了，班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元．通过还价，班委购买了本笔记本、支签字笔、支记号笔，只花了元，请问比原价购买节省了多少钱？ 【变式4-1】（2023下·福建福州·七年级校考期末）若且，则的值是 ． 【变式4-2】（2023下·七年级课时练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题． 已知方程组，求x＋y＋z的值． 解：将原方程组整理，得 ②－①，得x＋3y＝7，③ 把③代入①，得x＋y＋z＝6. 仿照上述解法，解决下面问题． 已知方程组则x＋2y－z的值为 ． 【变式4-3】（1）已知二元一次方程组则______，______． （2）某班级组织活动购买小奖品，买13支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需31元，买25支铅笔、9块橡皮、3本日记本共需55元，则购买3支铅笔、3块橡皮、3本日记本共需多少元？ （3）对于实数、，定义新运算∶，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么______