向量数乘运算及其几何意义课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

向量数乘运算及其几何意义 1 一、学习目标 （1）使学生理解向量数乘的定义及几何意义；掌握向量数乘的运算律．掌握向量共线定理，会判定或证明两个向量共线． （2）在学习过程中，使学生掌握通过类比思想提出猜想，并给予证明的解决问题的方法． （3）在对现实情境的抽象过程中，经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，培养学生的数学抽象素养． 学习目标 二、问题与发现 思考探究 二、问题与发现 思考探究 二、问题与发现 思考探究 二、问题与发现 思考探究 二、问题与发现 思考探究 三、课堂总结 (1) 本节课你都有哪些收获？ (2) 给你印象最深的是什么？ (3)课后，你还想进行什么探究？ 课堂小结 四、反馈练习 再见 【问题1】向量的数乘如何定义？ 1．已知非零向量 a，求作：(1) a＋a＋a； (2) (－a)＋(－a)＋(－a)． ( a ) ( a a a ) ( － a － a － a ) ( A P Q B )请观察3a 与－3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化． 2．已知，把线段AB三等分，分点为P，Q，则， ，与的关系如何？ 【向量数乘的定义】实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作 λa． 向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为： (1) | λa |＝| λ | | a |； (2) 当λ＞0时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜ 0 时，λa 与 a 的方向相反． 当 λ＝0 时，0a＝0；当 a＝0 时，λ0＝0． 【问题2】向量数乘有什么几何意义？ 教师提问，学生归纳总结． 把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向，长度放大或缩小． 如2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大到原来的 2 倍． 【问题3】请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？ 教师提问，学生思考，最后师生在合作探究中共同得出结论： 设 λ，μR，有： (1) (λ＋μ)a＝λa＋μa； (2) λ(μa)＝(λμ)a； (3) λ(a＋b)＝λa＋λb． 例1 计算下列各式： （1）(－2) a； （2）2(a＋b)－3(a－b)； （3）(+)(a－b)－(－)(a+b) ． 例2　设x是未知向量，解方程 5 (x＋a)＋3 (x－b)＝0． 【问题4】通过下面实例，能否归纳平行向量基本定理？ 已知＝3，＝3，说明向量与的关系． 解：＝＋＝3＋3＝3(＋)＝3．所以与共线且同方向，长度是的3倍． 【平行向量基本定理】 如果a＝λb，则a//b；反之如果a//b，且b≠0，则一定存在一个实数λ，使a＝λb． 例如，如果 a＝2b，则 a//b；如果 c＝－2b，则 c//b；如果 d//b，且d 的长度是 b 的一半，并且方向相反，则 d＝－ b． ( d = － b ) ( c= － 2 b ) ( a= 2 b ) ( b ) 注：与 a 同方向且长度为1的向量，称为非零向量 a 的单位向量．易知，a的单位向量为． 例4 若MN是△ABC 的中位线，求证： MN＝BC，且MN∥BC． 1. 计算: (1)4(a+b)-3(a-b)-8a; (2)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c); (3). 2. 已知向量e1和e2不共线. (1)若=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线; (2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值. $$