精品解析：江苏省南通市2024届高三第一次调研测试数学试题

南通市2024届高三第一次调研测试 数学 2024.01.24 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 25 B. 16 C. 9 D. 5 3. 若向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设为等比数列，，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 5. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形 C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 6. 已知直线与抛物线相切于M点，则M到C的焦点距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则（ ） A B. C. D. 8. 某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则（ ） A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差 B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值 C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数 D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 10. 设函数的定义域为R，为奇函数，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点在圆上，点，，则（ ） A. 存在点，使得 B. C. 存在点，使得 D. 12. 我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d（）的平面截成两部分，记两部分的体积分别为，则（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数，则________． 14. 已知，则________， ________． 15. 已知函数，若的最小值为，则________． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线．若则E的离心率为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的一点，，平面和平面将圆锥截去部分后的几何体如图所示． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A和c； （2）若点D在边上，且，求． 19. 记正项数列的前n项和为，满足1，，成等差数列． （1）求的通项公式； （2）设集合，求集合A． 20. 已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为．过点的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线的斜率分别为． （1）若，求； （2）证明：为定值． 21. 某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖． （1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率； （2）现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证