7.3.1 正弦函数的性质与图象（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）

7.3.1正弦函数的性质与图象（一） x y O P T M 如图，将摩天轮抽象成平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系. 设 O 到地面的高 OT 为 m， P点 为转轮边缘上任意一点，转轮半径 OP 为 r m，记以 OP 为终边的角为 rad，点 P 离地面的高度为 m，那么是的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？ 对于任意一个角,都有唯一确定的正弦与之对应，因此是一个函数. 它具有怎样的性质与图象呢？这节课我们一起来研究一下. 1.理解正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性 和单调性的意义.（难点） 2.会求简单函数的值域.（重点） 在研究三角函数的图象和性质时，我们通常采用弧度制来度量角，记为x，表示自变量，用y表示函数值.于是，正弦函数表示为 正弦函数 探究点1：正弦函数的性质 x y O P 1 M 是角x的正弦线 思考1：你能由正弦线得出正弦函数具有哪些性质吗？ （1）定义域与值域 因为任意角都有正弦，所以的定义域为. 由正弦线可以看出， 的长度最大是1，最小是0.因此，的值域为. 当且仅当时，函数的最大值； 当且仅当时，函数的最小值. 例1.已知,求的取值范围. 【解析】因为,所以 ， 由此解得. 因此，的取值范围是. （2）奇偶性 由诱导公式.可知正弦函数是奇函数，其图象关于原点中心对称. （3）周期性 由诱导公式.可知当自变量的值每增加或减少的整数倍时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性. 一般地，对于函数,如果存在一个非零常数，使得对定义域内的每一个，都满足,那么就称函数为周期函数，非零常数称为这个函数的周期. 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为的最小正周期. 根据这个定义，正弦函数是一个周期函数，都是它的周期. 在中，最小的正数为，因此正弦函数的最小正周期为. 今后本书中的周期,如果不加特殊说明,均默认为最小正周期！ 简记为： 长度为的区间称为的一个周期，如等. （4）单调性 由正弦线可以看出， 当由增加到时，由增加到1，是递增的； 当由增加到时，由1减小到，是递减的.如下表： x ↗ 0 ↗ ↗ ↗ sinx -1 ↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ -1 思考：你能根据正弦线得出正弦函数在一个周期 如中的单调性吗？ x y O P 1 追问：你能根据正弦函数的周期性得出它完整的单调性吗？ 由于正弦函数的周期为，正弦值重复出现.因此， 正弦函数在区间()上递增， 在区间()上递减. （4）正弦函数的零点 由正弦线可以看出正弦函数的零点为为. 例2.不求值，比较和的大小. 【解析】因为. . . 利用诱导公式转化到同一单调区间内 又因为在区间内递增， 且，所以, 因此. 跟踪训练：不求值，比较和的大小. 【解析】因为. .. 又因为在区间内递增， 且，所以, 因此. 例3.求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时的值. 【解析】（1）因为函数与同时取得最大值和最小值，所以 当时，函数的最大值； 当时，函数的最小值. （1）；（2）； （3）. （2）令,则 因为二次函数开口向上，对称轴为,所以 当时取得最小值2，此时，; 当时取得最大值6，此时，. 转化为二次函数在闭区间上求最值 （3）令,则 因为二次函数开口向上，对称轴为,所以 当时取得最大值，此时，，则; 当时取得最小值1，此时，，则或. 跟踪训练：函数的值域为（ ） A. B. C. D. C 【解析】令,则 因为二次函数开口向上，对称轴为,所以 当时取得最小值，当时取得最大值1. 因此，函数值域为. 定义域和值域 定义域：R 值域:[-1,1] 奇偶性 奇函数 周期性 最小正周期 单调性 增区间;减区间 零点 () 正弦函数的性质 $$