预习04 利用导数研究函数的极值与最大（小）值（八大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习04利用导数研究函数的极值与最大（小）值 一、函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值． 二、函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点01函数（导函数）图象与极值的关系 【方法点拨】（1）对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减; （2）对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零 【例1】（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的极值点 B．3是函数的极大值点 C．在区间上单调递减 D．1是函数的极小值点 【例2】（多选）已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数 C．在时取极小值 D．在时取极小值 【变式1-1】已知函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极小值有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 【变式1-3】（多选）已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．函数在区间上单调递减 C．当时，函数取得极小值 D．当时，函数取得极小值 考点02求不含参函数的极值 【方法点拨】求可导函数的极值的步骤：①求函数的定义域;②求函数的导数; ③令,求出全部的根;④列表:方程的根将整个定义域分成若干个区间,把在每个区间内的变化情况列在一个表格内;⑤判断得结论:若导数在附近左正右负,则在处取得极大值;若左负右正，则取得极小值. 【例3】已知函数在处有极值. (1)求、的值； (2)求出的单调区间，并求极值. 【例4】求下列函数的单调区间和极值． (1)； (2)． 【变式2-1】已知函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，为的导函数，，则（    ） A．的极大值为，无极小值 B．的极小值为，无极大值 C．的极大值为，无极小值 D．的极小值为，无极大值 【变式2-3】已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 考点03求不含参函数的最值 【方法点拨】求解函数在固定区间上的最值的步骤：①对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内；②研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值；③比较极值与端点函数值的大小,确定最值 【例5】设函数 (1)求的极大值点与极小值点及单调区间； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【例6】当 .时，函数在区间上取最小值. 【变式3-1】已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求在上的最值. 【变式3-2】求下列函数的最值． (1)； (2). 【变式3-3】已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求函数在区间上的最值． 考点04已知函数的极值求参数 【方法点拨】（1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值. （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 【例7】已知函数在处有极值0，则实数的值为（    ） A．4 B．4或11 C．9 D．11 【例8】若函数与函数有相等的极小值，则实数（    ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】已知函数在处取得极小值5． (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最小值． 【变式4-2】已知函数