第五章 导数及其应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第五章 导数及其应用（知识归纳+题型突破） 1、平均变化率 （1）变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值. （2）平均变化率 一般地，函数在区间上的平均变化率为：. （3）如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 2、导数的概念 （1）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. （2）定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 3、导数的几何意义 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即. 4、基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 (为常数) () () (，) 5、导数的运算法则 若，存在，则有 （1） （2） （3） 6、复合函数求导 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 7、曲线的切线问题 （1）在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. （2）过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 8、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 条件 恒有 结论 函数在区间上可导 在内单调递增 在内单调递减 在内是常数函数 9、求已知函数（不含参）的单调区间 ①求的定义域 ②求 ③令，解不等式，求单调增区间 ④令，解不等式，求单调减区间 注：求单调区间时，令（或）不跟等号. 10、函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 11、函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 题型一：平均变化率与瞬时变化率 例题1．（2023下·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是 例题2．（2023上·高二课时练习）自由落体运动的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系（g为重力加速度）． (1)分别求、、这些时间段内自由落体的平均速度； (2)求时的瞬时速度； (3)求时的瞬时速度； (4)借助（3）的结果，求时的瞬时速度． 例题3．（2023上·高二课时练习）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问： (1)小球的初始高度是多少？ (2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？ (3)小球在时的瞬时速度是多少？ (4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？ 巩固训练 1．（2023上·高二课时练习）自由落体运动中，物体下落的距离d（单位：m）与时间t（单位：s）近似满足函数关系． (1)求物体在时间段内的平均速度； (2)求物体在时的瞬时速度； (3)求物体在时的瞬时速度． 2．（2023上·高二课时练习）已知车辆启动后的一段时间内，车轮旋转的角度和时间（单位：秒）的平方成正比，且车辆启动后车轮转动第一圈需要1秒． (1)求车轮转动前2秒的平均角速度； (2)求车轮在转动开始后第3秒的瞬时角速度． 3．（2023上·高二课时练习）将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散． (1)当半径r从a增加到时，求圆周长相对于半径的平均变化率； (2)当半径时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率． 题型二：定义法求导数 例题1．（2023上·上海·高三上海中学校考期中）若，则 ． 例题2．（2023上·高二课时练习）已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为． (1)求； (2)的实际意义是什么？ 巩固训练 1．（2023