第五章 导数及其应用（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第五章 导数及其应用（单元重点综合测试） 一、填空题 1．已知函数，则 . 2．已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 3．函数在区间的平均变化率与在处的瞬时变化率相同，则正数 ． 4．已知函数的一个驻点为，则实数 ． 5．若函数既有极大值也有极小值，则下列说法中所有正确的有 . ①；②；③；④ 6．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件： ①在闭区间上是连续不断的； ②在区间上都有导数； 则在区间上至少存在一个实数t，使得，其中t称为“拉格朗日”中值，函数在区间上的“拉格朗日中值” ． 7．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为 （结果用分数表示）. 8．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 9．已知定义在上的函数的导函数为，若函数对任意恒成立，且，则的取值范围为 . 10．设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 . 11．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 12．若存在实数a，对任意，不等式恒成立，则实数b的最小值为 ． 二、单选题 13．如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ） A． B． C．2 D．1 14．已知，函数的导函数为.下列说法正确的是（    ） A． B．函数的严格增区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 15．已知是函数（且）的3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，则以下正确的个数有（    ） （1）有两个极值点；（2）的驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 三、解答题 17．已知一罐汽水放入冰箱后的温度x（单位：）与时间t（单位：h）满足函数关系． (1)求，并解释其实际意义； (2)已知摄氏度x与华氏度y（单位：）满足函数关系，求y关于t的导数，并解释其实际意义． 18．设函数的表达式为. (1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； (2)若，且，求实数的取值范围. 19．设，函数， (1)若，判断函数是否存在实数c，使得为奇函数？说明理由． (2)若，函数在区间上是严格增函数，求c的最大值． (3)若函数的图像经过点，且函数图像与x轴负半轴有两个不同的交点，求此时c的值和实数a的取值范围． 20．给出函数， (1)若，求不等式的解集； (2)若，且，求的取值范围； (3)若，非零实数，满足，求证：. 21．活动场地的“得地率”是指可供人活动的区域的占地面积与总占地面积之比．某大型商场欲将地下一层的一块半圆形空地改建为亲子乐园，建造一个供亲子游玩的海洋球池和两个大小完全相同的休息区，供人们休息和娱乐．除海洋球池和休息区外的剩余空地全部用气垫筑起高墙作为防护．如图，设半圆形空地的圆心为，半径为为直径，矩形海洋球池的顶点在上，顶点在半圆的圆周上，矩形休息区和的顶点在上，顶点在半圆的圆周上，顶点分别在线段上．已知，设．    (1)当时，求亲子乐园可供人活动区域的面积； (2)为使亲子乐园的“得地率”最大，求的取值． 22．已知. (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知函数在区间上有零点，求的值； (3)记，设、是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围. 23．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 导数及其应用（单元重点综合测试） 一、填空题 1．已知函数，则 . 【答案】 【详解】， 所以. 故答案为：. 2．已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】的导数为， 该曲线在处的斜率， 所以曲线在点处的切线方