专题02 十字架模型综合-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题02 十字架模型综合 类型一：【十字架模型】--正方形 第一种情况：过顶点 在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA） 所以AE=BF 第二种情况：不过顶点 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 也可以如下证明 在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH 类型二：【十字架模型】--矩形 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系； 可证：△ADE∽△BAF 所以 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系 【解答】 可证：△ADN∽△BAM ∴ ∴ 但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立 在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系 可证△EOH∽△GOF 【典例1】（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG； 【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值； 【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值． 【典例2】（2023•湘潭县三模）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G． （1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°； （2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA； （3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值． 1．（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（　　） A．90﹣α B．90+α C．90+2α D．90﹣2α 2．（2023•裕华区二模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（　　） A．9 B．10 C．6 D．1 3．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（　　） A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α 4．（2022•甘井子区校级模拟）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（　　） A． B． C． D．4 5．（2023•平房区三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，AC⊥CD，AB＝AC，若∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，则AD的长为 　　． 6．（2023•东莞市三模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有 　 　． 7．（2022•内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　 　． 8．（2022•德城区模拟）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有 　 　． 9．（2023•越秀区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　 　． 10．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP． 11．（2023秋•惠阳区校级月考）如