2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数与特殊三角形 (1)

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数与特殊三角形 1．已知二次函数经过点、，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． (1)求此二次函数解析式； (2)连接、、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．将抛物线：向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线，的解析式； (2)如图，点在抛物线上（对称轴右侧），点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点分别是，，点A在上，以A为顶点的抛物线过点，且对称轴交轴于点．连接，，点，为动点，设运动时间为秒．    (1)填空：点A坐标为______；抛物线的解析式为______． (2)在图①中，若点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，同时，点在线段上从点向点以个单位秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当为何值时，为直角三角形？ (3)在图②中，若点在对称轴上从点A开始向点以个单位秒的速度运动，过点作，交于点，过点作于点，交抛物线于点，连接，．当为何值时，的面积最大？最大值是多少？ 4．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点且，将绕点按逆时针方向旋转，点恰好与重合． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点为线段上的任一动点，过点作，交于点，连结，求面积的最大值； (3)对称轴上是否存在一点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，顶点M的纵坐标为． (1)直接写出点A的坐标　　　　，点B的坐标　　　　； (2)求出二次函数的解析式； (3)如图1，在平面直角坐标系中找一点D，使得是以为斜边的等腰直角三角形，试求出点D的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2＋bx﹣1经过点A(﹣1,﹣2)和点B(﹣2,1)，抛物线C2：y＝3x2＋3x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M． (1)求抛物线C1的表达式； (2)求线段MN的长（用含t的代数式表达）； (3)当△BMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)若，求m的值． (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 9．如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为线段上一动点（不与重合），过作轴的平行线，记该直线右侧与围成的图形面积为，试确定与的函数关系式． 10．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求的面积； (3)抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足为直角，且使． (1)求线段OC的长； (2)求该抛物线的函数关系式； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．综合与探究 如图，抛物线经过点，两点，与y轴交于点C，且，点D是抛物线上第一象限内的一个动点，设点D的横坐标为m．连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点D作与y轴的平行线的直线l，与交于点E，当是以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标． (3)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x