预习03利用导数研究函数的单调性（七大考点）-2024年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习03利用导数研究函数的单调性 一、函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 二、求可导函数单调区间的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 三、函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 考点01函数与导函数图象间的关系 【方法点拨】研究函数与导函数图象之间关系的方法 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 【例1】的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．   D．     【例2】函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【变式1-3】已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为 考点02求不含参函数的单调区间 【方法点拨】求不含参数函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）由(或,解出相应的的范围， 当时,在相应的区间上是增函数;当时,在相应区间上是减函数. （4）结合定义域写出单调区间. 注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可. 【例3】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【例4】求下列函数的单调区间． (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】函数的单调增区间是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点03利用单调性比较大小 【方法点拨】单调性经常与单调性结合比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例5】已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数，且，则 a ， b ， c 的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数（为自然常数），记，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，比较a，b，c的大小： .（用＜号连接） 考点04利用单调性解不等式 【例7】已知函数，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8】已如函数，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为 【变式4-2】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若实数满足，则的取值范围是 ． 【变式4-3】已知函数满足，则实数a的取值范围是 . 考点05已知函数的单调区间求参数 【方法点拨】先对函数进行求导，结合定义域可得到单调区间的一个或者两个端点为导函数的零点，代入即可求解 【例9】已知函数f（x）＝在上是减函数，则实数a的取值区间是 【例10】函数（）的减区间为，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D．4 【变式5-1】如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ． 【变式5-2】已知函数的减区间为，则 . 【变式5-3】若函数的单调减区间为，则 ． 考点06已知函数的单调性求参数的范围 【方法点拨】已知在区间上的单调性,求参数范围的方法 ①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集; ②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意