1.2.1 等差数列的概念及其通项公式8种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第二册）

2.1 等差数列的概念及其通项公式8种常见考法归类 课程标准 学习目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．体会等差数列与一次函数的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1.理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式以及与等差数列通项公式有关的计算．(数学运算) 4．能利用等差数列解决相关的实际问题．(数学建模、数学运算) 知识点01等差数列的概念 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示． 注：(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”． (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关． (3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．公差是每一项与其前一项的差，用an－an－1求公差时，要求n≥2，且n∈N*. 【即学即练1】下列数列中，不成等差数列的是（    ）． A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001 C．a，a，a，a D．，，， 【即学即练2】判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？ (1)在数列中； (2)在数列中； (3)在数列中，其中p，q为常数． 知识点02 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，此公式的推导方法是累加法． 注：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量(首项a1，公差d，项数n和第n项an)，如果知道了其中的任意三个，就可以由通项公式求出第四个． 【即学即练3】在等差数列{an}中， （1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； （2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； （3）已知a1＝12，a6＝27，求d； （4）已知d＝－，a7＝8，求a1和an. 【即学即练4】已知数列为等差数列，，，则公差d为______． 【即学即练5】已知在等差数列中，,，则=（    ） A．8 B．10 C．14 D．16 知识点03　等差数列与一次函数的关系 由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示． 当d<0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示． 当d＝0时，数列{an}为常数列，如图丙所示． 注：　 项目 等差数列 一次函数 解析式 an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0) 不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上) 定义域为R，图象是一条直线 相同点 等差数列的通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式 【即学即练6】已知数列中，点在直线上，且．求证：数列是等差数列． 知识点04 等差中项 (1)如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项． (2)如果A是a与b的等差中项，则A＝． 注：在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项． 反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的均成立，则数列{an}是等差数列． 因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法． 【即学即练7】已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（ ） A． B． C．1 D．2 ， 【即学即练8】在等差数列中，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．28 【即学即练9】已知等差数列的前三项依次为，，，求通项. 知识点05等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 【即学即练10】